《整式运算与因式分解》精选压轴题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-24 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若 $(x + a) (x + b) = x^{2} - 7 x + 12$ ，则 $a, b$ 的值可能分别是（）

A、 $- 3, - 4$ B、 $- 3, 4$ C、 $3, - 4$ D、3，4

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2. 观察下列几个算式：① $(a - 1) (a + 1) = a^{2} - 1$ ；② $(a - 1) (a^{2} + a + 1) = a^{3} - 1$ ；③ $(a - 1) (a^{3} + a^{2} + a + 1) = a^{4} - 1$ ；④ $(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) = a^{5} - 1$ ， ……，结合你观察到的规律判断 $2^{2024} + \dots + 2^{2} + 2 + 1$ 的计算结果的末位数字为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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3. 两个正方形如图摆放，大正方形的边长为 $m$ ，小正方形的边长为 $n$ ，则下面四个式子中，不能表示图中阴影部分面积的是（）

A、 $\frac{1}{2} m^{2} + \frac{1}{2} n^{2} - \frac{1}{2} m n$ B、 $\frac{1}{2} {(m + n)}^{2} - \frac{3}{2} m n$ C、 $\frac{1}{2} (m^{2} + n^{2})$ D、 $\frac{1}{2} {(m - n)}^{2} + \frac{1}{2} m n$

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二、填空题

4. 如图1所示，大正方形的边长是 $(a + b)$ ，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
根据这样的等积法，我们可以得出结论： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．
请你根据等积法，利用图2写出 ${(a + b + c)}^{2}$ 的计算结果．

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三、解答题

5. 阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．

例如：求代数式： $x^{2} - 12 x + 2020$ 的最小值

解：原式 $= x^{2} - 12 x + 6^{2} - 6^{2} + 2020$

$= {(x - 6)}^{2} + 1984$

∵ ${(x - 6)}^{2} \geq 0$

∴当x=6时， ${(x - 6)}^{2}$ 的值最小，最小值为0

∴ ${(x - 6)}^{2} + 1984 \geq 1984$

∴当 ${(x - 6)}^{2} = 0$ 时， ${(x - 6)}^{2} + 1984$ 的值最小，最小值为1984

∴代数式： $x^{2} - 12 x + 2020$ 的最小值是1984

例如：分解因式： $x^{2} - 120 x + 3456$

解：原式 $= x^{2} - 2 \times 60 x + 60^{2} - 60^{2} + 3456$

$= {(x - 60)}^{2} - 144$

$= {(x - 60)}^{2} - 12^{2}$

$= (x - 60 + 12) (x - 60 - 12)$

$= (x - 48) (x - 72)$

（1）分解因式 $x^{2} - 46 x + 520$ ；

（2）若 $y = - x^{2} + 2 x + 1313$ ，求y的最大值；

（2）当m，n为何值时，代数式 $m^{2} - 2 m n - 2 m + 2 n^{2} - 4 n + 2030$ 有最小值，并求出这个最小值．

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6. 从边长为 $a$ 的正方形剪掉一个边长为 $b$ 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）
A． $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B． $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C． $a^{2} + a b = a (a + b)$

(2)、若 $x^{2} - 9 y^{2} = 12, x + 3 y = 4$ ，求 $x - 3 y$ 的值；

(3)、计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{2029^{2}})$ ．

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7. 通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究．

(1)、如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为 $x^{2} + (p + q) x + p q$ ，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________．

(2)、根据上述规律，对以下多项式进行因式分解．
① $x^{2} + 5 x + 6$
② $15 a^{2} - 2 a - 1$

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8. 如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．

(1)、观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积：
方法1：                                         ，
方法2：                                         ，
根据上面两种面积表示方法，写出一个关于a，b的公式：                                        ；

(2)、已知图2的总面积为64，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为40，求 $a b$ 的值；

(3)、用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，如果 $b - a = 3$ ， $a b = 28$ ，求图3阴影部分的面积．

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9. 基本知识：通过用两种不同方法计算图1的面积，发现： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 恒成立．基于此，请解答下列问题：

(1)、直接应用：若 $a b = 4$ ， $a + b = 5$ ，直接写出 $a^{2} + b^{2}$ 的值为；

(2)、类比应用：若 $a (3 - a) = 2$ ，则 $a^{2} + {(3 - a)}^{2} =$ ；

(3)、拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策，使同学们体验劳动的快乐，掌握劳动技能．某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动．首先在实践园用栅栏围成一个 $△ A B C$ 区域，用来种植草坪（如图2），其中 $A C ⊥ A B$ 于点A， $A C$ 与 $A B$ 两边的长度和为 $30 m$ ，然后再以 $A C$ ， $A B$ 为边分别向外扩建成正方形 $A C D E$ 和正方形 $A B F G$ 的用地，分别种植三角梅和月季花，向外扩建的两个正方形面积和为 $500 m^{2}$ ．请根据题意求种植草坪的 $△ A B C$ 的面积．

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10.
【知识技能】
已知： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ ； ${(a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b$ ；
填空：（1）① $a^{2} + b^{2} = {(a ＋ b)}^{2} -$ ______；② ${(a ＋ b)}^{2} - {(a - b)}^{2} =$ ______．
【数学理解】
若x满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ 的值．
解：设 $5 - x = a$ ， $x - 2 = b$ ，
则 $(5 - x) (x - 2) = a b = 2 ， a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$ ，
∴ ${(5 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = a^{2} ＋ b^{2} = {(a ＋ b)}^{2} - 2 a b = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
【解决问题】
（2）①若x满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，则 ${(7 - x)}^{2} + {(x - 3)}^{2} =$ ______；
②若x满足 ${(x + 1)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；
③如图，已知正方形 $A E M G$ 被分割成4个部分，其中四边形 $C D E F$ 与 $B C N G$ 为正方形，若 $A B = x$ ， $A D = x + 1$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为6，求正方形 $A E M G$ ，的面积．

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11. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用 $K T$ 板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知 $K T$ 板（阴影部分）的尺寸如图2所示．

(1)、用含a、b的代数式表示图2的 $K T$ 板模型的总面积（结果需化简）；

(2)、若 $a + b = 7$ ， $a b = \frac{25}{2}$ ，求 $K T$ 板总面积．

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12. 我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决以下问题．
图1是一个长为4b，宽为 $a (a > b)$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形．

(1)、观察图1，图2，请写出 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， ab之间的等量关系：______．

(2)、如图3，正方形 $A B C D$ 的边长为a，正方形 $C E F G$ 的边长b，点E，G分别在 $C D$ ， $B C$ 边上．若 $a + b = 13$ ， $a b = 32$ ，求图中阴影部分的面积．

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13. 如图1，将边长 $(a + b)$ 的正方形剪出两个边长分别为 $a ， b$ 的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题：

(1)、用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：；方法2：；从中你发现什么结论呢：

(2)、根据上述结论，初步解决问题：已知 $a + b = 6, a^{2} + b^{2} = 20,$ 求 $a b$ 的值；

(3)、解决问题：如图2，C是线段 $A B$ 上一点，以 $A C ， B C$ 为边向两边作等腰直角三角形，记 $S_{Rt △ A C D} = S_{1}, S_{Rt △ C B E} = S_{2},$ 若 $A C + B C = 8, S_{1} + S_{2} = 25,$ 求图中阴影部分的面积．

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四、阅读理解

14. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解： $a^{2} + 6 a + 8$ ． ②求 $x^{2} + 6 x + 11$ 的最小值．
解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1$
$= {(a + 3)}^{2} - 1^{2}$
$= (a + 3 - 1) (a + 3 + 1)$
$= (a + 2) (a + 4)$ ；
解：原式 $= x^{2} + 6 x + 9 + 2$
$= {(x + 3)}^{2} + 2$ ；
$∵ {(x + 3)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ {(x + 3)}^{2} + 2 \geq 2$ ，
即 $x^{2} + 6 x + 11$ 的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、当 $x$ 为何值时，多项式 $x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值？请求出这个最小值；

(2)、若 $x^{2} + 5 x + 2 = 0$ ，求 $2 x^{2} + 11 x - \frac{10}{2 + x^{2}}$ 的值；

(3)、证明：关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + 8 x + 20$ 在实数范围内不能因式分解．

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15. 阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解： $a^{2} + 6 a + 8 ．$
解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1 = {(a + 3)}^{2} - 1 = (a + 3 - 1) (a + 3 + 1) = (a + 2) (a + 4)$
例2：若 $M = a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2,$ 利用配方法求M的最小值．
解： $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2 = a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b + 1 + 1 = {(a - b)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1$
$∵ {(a - b)}^{2} \geq 0, {(b - 1)}^{2} \geq 0$
∴当 $a = b = 1$ 时，M有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：

(1)、用配方法因式分解： $x^{2} - 16 x + 60$ ；

(2)、求代数式 $- x^{2} + 14 x + 10$ 的最小（或最大）值，并写出相应的x的值；

(3)、已知 $a ， b ， c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} = 2 a b + 4 b + 6 c - 13$ ，试判断三角形的形状．

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16. 【阅读理解】若 $x$ 满足 $(9 - x) (x - 4) = 4$ ，求 ${(9 - x)}^{2} + {(x - 4)}^{2}$ 的值．
解：设 $9 - x = a$ ， $x - 4 = b$ ，
则 $(9 - x) (x - 4) = a b = 4$ ， $a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$ ，
$∴ {(9 - x)}^{2} + {(x - 4)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$
【解决问题】

(1)、若 $x$ 满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，则 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2} =$ _____；

(2)、若 $x$ 满足 ${(x + 1)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；

(3)、已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $x$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ 、 $D C$ 上的点，且 $A E = 1$ ， $C F = 3$ ，长方形 $E M F D$ 的面积是48，分别以 $M F$ 、 $D F$ 正方形，求阴影部分的面积．

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17. 阅读理解：若 $x$ 满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ 的值，
解：设 $5 - x = a$ ， $x - 2 = b$ ，则 $(5 - x) (x - 2) = a b = 2$ ， $a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$ ，
所以 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现：（1）若 $x$ 满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，求 ${(7 - x)}^{2} + {(x - 3)}^{2}$ 的值；
类比探究：（2）若 $x$ 满足 ${(x + 1)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；
拓展延伸：（3）如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C 、 B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 6$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 22$ ，求图中阴影部分的面积．

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18. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】（1）①若 $x y = 8$ ， $x + y = 6$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为；
②若 $x (5 - x) = 6$ ，则 $x^{2} + {(5 - x)}^{2} =$ ；
【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板 $(∠ A O B = ∠ C O D = 90 °)$ 如图2所示放置，其中 $A$ ， $O$ ， $D$ 在一直线上，连接 $A C$ ， $B D$ ，若 $A D = 14$ ， $S_{Δ A O C} + S_{Δ B O D} = 54$ ，求一块三角板的面积．

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