《截长补短与倍长中线证全等》精选压轴题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-24 类型：复习试卷

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一、解答题

1. 学习理解：
（1）如图1， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ，点D为 $B C$ 的中点，则 $A D$ 的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2， $A B = A D$ ， $A C = A E$ ， $∠ B A D = ∠ C A E = 90 °$ ，点F为 $B C$ 的中点．
求证： $S_{△ A B C} = S_{△ A D E}$ ；
思维拓展：
（3）如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的角平分线 $A D$ 与 $B E$ 相交于点F，连接 $D E$ ， $S_{△ A B C} = 30$ ， $S_{△ C D E} = 4$ ，则 $S_{△ A B F} =$ ________．

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2. （1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1， $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ，求证： $∠ B = ∠ C$ ．
（2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，E是 $A D$ 上一点，延长 $B E$ 交 $A C$ 于F．若 $B E = A C$ ，求证： $∠ E A F = ∠ A E F$ ．

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3. 在数学活动课上，王老师提出这样一个问题：
在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，若 $A B = 7$ ， $A C = 4$ ，你能判断 $A D$ 的取值范围吗？
如图①，小明同学考虑到，利用线段相等，可以构造全等把一些分散的已知条件整合在一个三角形里，因此得到如下解题思路：延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，构造一对全等三角形，然后在 $Δ A B E$ 中就可以判断 $A E$ 的取值范围，从而求出 $A D$ 的取值范围．

(1)、按照上述思路，请完成小明的证明过程；

(2)、类比上述解题思路，解决问题：如图②，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ 是 $A B$ 边上一点，过点 $C$ 作 $C F ∥ A B$ 交 $E D$ 的延长线于点 $F$ ，若 $A D ⊥ B C$ ， $A E = 1$ ， $C F = 2$ ，求 $A C$ 的长．

(3)、如图③，王老师在原 $△ A B C$ 外部，以 $A$ 为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为 $△ A B M$ 与 $△ A C N$ ，连接 $M N$ ，猜想 $M N$ 与中线 $A D$ 的数量关系，并证明你的结论．

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4. 已知，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $A E = A C$ ， $A B = A D$ ， $∠ B A C + ∠ D A E = 180 °$ ．

(1)、如图1，若 $A B = A C$ ， $A M ⊥ B C$ 于点M．
①求证： $∠ E = ∠ B A M$
②猜想 $A M$ 与 $D E$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、如图2，求证： $S_{△ A B C} = S_{△ A D E}$ ．

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5. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $P$ 是线段 $A C$ 上一动点（点 $P$ 不与 $A$ ， $C$ 重合），连接 $B P$ ，过点 $A$ 作直线 $B P$ 的垂线，垂足为点 $D$ ，在 $A D$ 右侧作等边三角形 $△ A D E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、①求证： $B D = C E$ ；
②求 $∠ C E D$ 的度数；

(2)、延长 $E D$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，求证： $F$ 为 $B C$ 的中点．

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 30 ° ，$ 点D是 $△ A B C$ 内一点， $D B = D C ， ∠ D C B = 30 ° ，$ 点E是 $B D$ 延长线上一点， $A E = A B ．$

(1)、求证：直线 $A D ⊥ B C ．$

(2)、求 $∠ A D E$ 的度数．

(3)、试猜想线段 $D E ， A D ， D C$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

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7. （1）如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上，若 $∠ E A B + ∠ F A D = ∠ E A F$ 则线段 $B E$ 、 $D F$ 、 $E F$ 间的数量关系是．
（2）如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上，若 $E F = B E + F D$ ，探究 $∠ E A B$ 、 $∠ F A D$ 、 $∠ E A F$ 的之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $E$ 是线段 $A B$ 上一点， $C E ⊥ C F$ ，且 $C E = C F$ ，过点 $F$ 作 $F D ⊥ F C$ 交 $C A$ 的延长线于 $D$ ，过 $E$ 作 $E G ⊥ E C$ 交 $B C$ 于 $G$ ，连接 $D G$ ．若 $D F = 7$ ， $E G = 1$ ，求 $D G$ 的长．

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8. 如图，已知 $A C = B C$ ，点D是BC上一点， $∠ A D E = ∠ C$ ．
图1 图2

(1)、如图1，若 $∠ C = 90 °$ ， $∠ D B E = 135 °$ ，求证：
① $∠ E D B = ∠ A$
② $D A = D E$

(2)、如图2，请直接写出 $∠ D B E$ 与 $∠ C$ 之间满足什么数量关系时，总有 $D A = D E$ 成立．

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9. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， E是线段 $A B$ 的中点．

(1)、如图1，连接 $E C$ ，求证： $△ C B E$ 是等边三角形；

(2)、如图2， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点N是线段 $A C$ 上的一点，以 $B N$ 为一边，在 $B N$ 的下方作 $∠ B N G = 60 °$ ， $N G$ 交 $D E$ 延长线于点G．试探究 $N D$ ， $D G$ 与 $A D$ 数量之间的关系，并说明理由；

(3)、如图3， $A B = 4$ ，点N为直线AC上的一动点，连接 $B N$ ，在 $B N$ 下方作等边 $△ B G N$ ，则 $C G$ 的最小值为　　　．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 的平分线交于点D，延长 $B D$ 交 $A C$ 于E，G、F分别在 $B D 、 B C$ 上，连接 $D F 、 G F$ ，其中 $∠ A = 2 ∠ B D F$ ， $G D = D E$ ．

(1)、当 $∠ A = 80 °$ 时，求 $∠ F D C$ 的度数；

(2)、求证： $C F = F G + C E$ ．

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11. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形，其边长为4．点P是 $A B$ 边上一动点，连接 $C P$ ．

(1)、如图1，点E在 $A C$ 边上，且 $A E = B P$ ，连接 $B E$ 交 $C P$ 于点F．
①求证： $B E = C P$ ；
②填空： $∠ B F C =$ ______ $°$ ；

(2)、如图2，将 $C P$ 绕点C顺时针旋转 $120 °$ 至 $C Q$ ，即 $C P = C Q$ ， $∠ P C Q = 120 °$ ，连接 $B Q$ 交 $A C$ 于点D，试确定 $B P$ 与 $C D$ 满足的数量关系，并证明你的猜想；

(3)、如图3，在（2）的条件下，延长 $B C$ 至点E，使 $C E = B P$ ，连接 $Q E ， D E$ ．在点P运动过程中，当 $S_{△ A P C} = 5 S_{△ Q C E}$ 时，则 $S_{△ Q D E} : S_{△ B P C} =$ ______．

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12. 如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， D在 $B C$ 边上（端点除外）， $A D = D E$ ，且 $∠ A B C = ∠ A D E = α$ ，连接 $C E$ ，探究 $∠ B C E$ 与 $α$ 的数量关系．

(1)、先将问题特殊化，如图2，当 $α = 60 °$ 时，直接写出 $∠ B C E$ 的大小；

(2)、再探究一般情形，如图1，求 $∠ B C E$ 与 $α$ 的数量关系；

(3)、将图1特殊化，如图3，当 $α = 90 °$ 时，连接 $B E$ ， M是 $A C$ 的中点，N是 $B E$ 的中点，判定以D，M，N为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．

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二、实践探究题

13.

(1)、【模型启迪】
如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H ，使DH=AD ，连接BH ，则AC与BH的数量关系为，位置关系为.

(2)、【模型探索】
若AB=6，AC=5，则AD的取值范围.

(3)、【模型迁移】
如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD ， E为AC边上一点，连接BE交AD于点F ，且BF=AC.求证：AE=EF.

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14. 问题提出：
(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1， $△ A B C$ 中， $A C = 7$ ， $B C = 9$ ， $A B = 10$ ， P为 $A C$ 上一点，当 $A P =$ ______时， $△ A B P$ 与 $△ C B P$ 是偏等积三角形；
问题探究：
(2)如图2， $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 是偏等积三角形， $A B = 2$ ， $A C = 6$ ，且线段 $A D$ 的长度为正整数，则 $A D$ 的长度为______；
问题解决：
(3)如图3，四边形 $A B E D$ 是一片绿色花园， $C A = C B$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° (0 ° < ∠ B C E < 90 °)$ ． $△ A C D$ 与 $△ B C E$ 是偏等积三角形吗？请说明理由．
问题拓展：
(4)如图4，将 $△ A B C$ 分别以 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ ，正方形 $B C F G$ ，正方形 $A C M N$ ，连接 $D G$ ， $F M$ ， $N E$ ，则图中有______组偏等积三角形．

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15. △ABC和△ADE共顶点A（∠BAE＜180°），AB＝AC，AD＝AE．

(1)、【问题背景】如图1，∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；

(2)、【探究运用】如图2，∠BAC＝∠DAE＝α，F，G分别为BD，CE的中点，连接AG， AF，求∠GAF的度数（用含α的式子表示）；

(3)、【创新拓展】如图3，连接BE，若M为BE的中点，且∠DAC＝∠ABE+∠AEB，求证：DC＝2AM．

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16. 【初步探索】
（1）如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， ∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ， E，F分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，探究图中 $∠ B A E ， ∠ F A D ， ∠ E A F$ 之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点G，使 $D G = B E$ ．连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，可得出结论，则他的结论应是______．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， ∠ B + ∠ D = 180 °$ ， E，F分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 ° ， A B = A D$ ，若点E在 $C B$ 的延长线上，点F在 $C D$ 的延长线上，且仍然满足 $E F = B E + F D$ ，请直接写出 $∠ E A F$ 与 $∠ D A B$ 的数量关系．

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