《全等三角形的存在性问题》精选压轴题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-24 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，已知四边形ABCD中，AB=15cm， BC=9cm，CD=10cm，∠B=∠C，点E是线段BA 的三等分点（靠近B处）. 如果点P在线BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动. 若要使得△BPE与△CQP在某时刻全等. 即点Q的运动速度是（）

A、3cm/s. B、3cm/s或 $\frac{10}{3}$ cm/s. C、 $\frac{20}{3}$ cm/s. D、3cm/s或 $\frac{20}{3}$ cm/s.

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2. 如图，已知 $A B = 10, A C = 6, B D = 8$ ，其中 $∠ C A B = ∠ D B A = α$ ，点 $P$ 以每秒2个单位长度的速度沿着 $C \to A \to B$ 路径运动，同时，点 $Q$ 以每秒 $x$ 个单位长度的速度沿着 $D \to B \to A$ 路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为 $t$ 秒．
①若 $x = 1$ ，则点 $P$ 运动路程始终是点 $Q$ 运动路程的2倍；
②若P，Q两点同时到达 $A$ 点，则 $x = 5$ ；
③若 $α = 90 °, t = 5, x = 1$ ，则 $P C$ 与 $P Q$ 垂直；
④若 $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 全等，则 $x = \frac{4}{5}$ 或 $\frac{4}{11}$ ．
以上说法正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

3. 如图，AB=5cm ， AC=4cm.∠CAB=∠DBA=60°，点 P 在线段 AB 上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上由点B向点D方向运动.它们运动的时间为t(s)，则点Q的运动速度为cm/s时，在某一时刻，由A ， C ， P三点构成的三角形与由B ， P ， Q三点构成的三角形全等.

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4. 如图，AB=14，AC=6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的值为．

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ A B C$ ， $A B = 5 cm$ ， $A D = B C = 3 cm$ ，点E在线段 $A B$ 上以 $1 cm / s$ 的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段 $B C$ 上由点B向点C运动，设运动时间为 $t (s)$ ，当 $△ A D E$ 与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 $cm / s$ ．

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6. 如图， $C A ⊥ A B$ ，垂足为点A，射线 $B M ⊥ A B$ ，垂足为点B， $A B = 15 cm$ ， $A C = 6 cm$ ．动点E从A点出发以 $3cm/s$ 的速度沿射线 $A N$ 运动，动点D在射线 $B M$ 上，随着E点运动而运动，始终保持 $E D = C B$ ．若点E的运动时间为t秒 $(t > 0)$ ，则当 $t =$ 秒时， $△ D E B$ 与 $△ B C A$ 全等．

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7. 如图， $A B = 4 cm$ ， $B C = 6 cm$ ， $∠ B = ∠ C$ ，如果点P在线段 $B C$ 上以 $2 cm$ /秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线 $C D$ 运动，若经过t秒后， $△ A B P$ 与 $△ C Q P$ 全等，则t的值是．

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8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm ， BC=10cm.动点P从点A出发以1cm/s沿A→C运动；动点Q从点B出发以3cm/s沿B→C→A运动.两点同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动.在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E ， QF⊥MN于点F ，则点P的运动时间为s时，△PEC与△QFC全等.

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三、解答题

9. 如图，AB=7cm，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为A，B，AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动，它们运动的时间为t s（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）.

(1)、若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

(2)、如图②，若“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x，t的值.

(3)、在（2）成立的条件下且P、Q两点的运动速度相同时，求∠CPQ的度数.

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10. 如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点， $A B = A C = B C = 10 m$ ．已知小明的速度是 $1m/s$ ，小楠的速度是 $2m/s$ ，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动．

(1)、小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？

(2)、小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？

(3)、当小明和小楠在边 $B C$ 上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由．

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11. 我们知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图所示，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $A B = 8$ 厘米， $B C = 6$ 厘米， $D$ 为 $A B$ 的中点，如果点 $P$ 在线段 $B C$ 上以每秒2厘米的速度由 $B$ 点向 $C$ 点运动，同时，点 $Q$ 在线段 $C A$ 上以每秒 $a$ 厘米的速度由 $C$ 点向 $A$ 点运动，设运动时间为 $t$ （秒） $(0 \leq t \leq 3)$ ．

(1)、用含 $t$ 的代数式表示 $P C$ 的长度；

(2)、若点 $P ， Q$ 的运动速度相等，经过1秒后， $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 是否全等，请说明理由；

(3)、若点 $P ， Q$ 的运动速度不相等，当点 $Q$ 的运动速度 $a$ 为多少时，能够使 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等？

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 18 cm, B C = 10 cm, A D = 2 B D$ ．

(1)、如果点P在线段 $B C$ 上以 $2 cm / s$ 的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 $C A$ 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 $2 s$ 后， $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等？

(2)、若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿 $△ A B C$ 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 $△ A B C$ 的哪条边上相遇？

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13. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = C D = 6 c m$ ， $B C = 10 c m$ ，点P从点B出发，以 $2 c m /$ 秒的速度沿 $B C$ 向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒：

(1)、 $B P =$ $c m$ ．（用t的代数式表示）

(2)、如图1，当t为何值时， $△ A B P ≌ △ D C P$ ．

(3)、如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以 $v c m /$ 秒的速度沿 $C D$ 向点D运动．当v为何值，使得 $△ A B P$ 与 $△ P Q C$ 全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由．

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $A B = 12$ 厘米， $B C = 8$ 厘米，点D为 $A B$ 的中点. 如果点P在线段 $B C$ 上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 $C A$ 上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（ $0 \leq t \leq 4$ ）.

(1)、用含t的式子表示 $P C$ 的长度；

(2)、若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后， $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 是否全等，请说明理由；

(3)、若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等？

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15. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $A B = 8$ 厘米， $B C = 6$ 厘米，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，如果点 $P$ 在线段 $B C$ 上以每秒 $2$ 厘米的速度由 $B$ 点向 $C$ 点运动，同时，点 $Q$ 在线段 $C A$ 上以每秒 $a$ 厘米的速度由 $C$ 点向 $A$ 点运动，设运动时间为 $t$ （秒）（ $0 \leq t < 3$ ）．

(1)、用含 $t$ 的代数式表示 $P C$ 的长度： $P C =$ ________．

(2)、若点 $P$ 、 $Q$ 的运动速度相等，经过 $1$ 秒后， $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 是否全等，请说明理由；

(3)、若点 $P$ 、 $Q$ 的运动速度不相等，当点 $Q$ 的运动速度 $a$ 为多少时，能够使 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等？

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