《二次函数》精选新题之填空题—浙江省九（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-14 类型：复习试卷

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一、填空题

1. 已知 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个解是 $x = 4$ ，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c - 1 （ a \neq 0 ）$ 的对称轴是直线 $x = 3$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的另一个解是．

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2. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m ，高度为200m ．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为m ．

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3. 已知二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 过点 $A (n - 5, m)$ ， $B (n + 4045, m)$ ，且与直线 $y = 1$ 只有一个交点，则 $\frac{m - 1}{2025}$ 的值为.

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4. 函数 $y = \{\begin{matrix} x^{2} - 3 x (x \geq 0) \\ x (x ＜ 0) \end{matrix}$ 的图象如图所示，若直线 $y = x + t$ 与该图象只有一个交点，则 $t$ 的取值范围为．

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5. 如图，一段抛物线： $y = - x (x - 2) (0 \leq x \leq 2)$ 记为图象 $C_{1}$ ，它与x轴交于两点O、 $A_{1}$ ；将图象 $C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转 $180 °$ 得到图象 $C_{2}$ ，交x轴于点 $A_{2}$ ；将图象 $C_{2}$ 绕点 $A_{2}$ 旋转 $180 °$ 得到图象 $C_{3}$ ，交x轴于点 $A_{3}$ ；…如此进行下去，若点 $P (\frac{2025}{2}, m)$ 在某段抛物线上，则 $m =$ ．

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6. 对于一个二次函数y＝a（x﹣m）²+k（a≠0）中存在一点P（x^' ， y^'），使得x^'﹣m＝y^'-k≠0，则称2|x^'﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + 3$ “开口大小”为．

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7. 定义：在平面且角坐标系中，直线 $y = a (x - h) + k (a \neq 0)$ 称为抛物线 $y = a (x - h)^{2} + k (a \neq 0)$ 的伴随直线，如直线 $y = (x + 1) - 2$ 为抛物线 $y = (x + 1)^{2} - 2$ 的伴随直线．若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的伴随直线是 $y = a (x + 1) - 3$ ，则 $b =$ （用 $a$ 的代数式表示）：若该抛物线经过定点 $Q$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ，当 $△ A B Q$ 为直角三角形时，则 $a =$ ．

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8. 如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点 $O$ 为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度 $y (m)$ 与水平距离x（m）之间满足解析式 $y = - \frac{1}{5} {(x - 4)}^{2} + \frac{21}{5}$ ，球网 $B C$ 离点 $O$ 的水平距离为 $5$ 米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上 $N (n, 0)$ 处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则 $n$ 的取值范围是．

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9. 我们约定：当 $x_{1}$ ， $y_{1}$ ， $x_{2}$ ， $y_{2}$ 满足 ${(x_{1} + y_{2})}^{2} + {(x_{2} + y_{1})}^{2} = 0$ ，且 $x_{1} + y_{1} \neq 0$ 时，称点 $(x_{1}, y_{1})$ 与点 $(x_{2}, y_{2})$ 为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于 $x$ 的二次函数 $y = 2 a x^{2} - 1$ 是“对偶函数”，则实数 $a$ 的取值范围为．

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，点 $E$ 在射线 $A D$ 上运动，以 $B E$ 为直角边向右作 $R t △ B E F$ ，使得 $∠ B E F = 90 °$ ， $B E = 2 E F$ ，连接 $C F$ ．
⑴当点 $F$ 恰好落在 $C D$ 边上时， $B F =$ ．
⑵当 $E F =$ 时， $C F$ 有最小值．

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