《二次函数》精选新题之选择题—浙江省九（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - x - 4 (a⟩ 0 ）$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，过点C作直线l∥x轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图像，若直线y=-3.5和新图像恰好有3个交点，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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2. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位： $m$ ）与飞行时间t（单位： $s$ ）满足的关系为 $h = - t^{2} + 12 t + 11$ ．若“水火箭”的升空高度为 $4.75 m$ ，则此时的飞行时间为（）

A、 $0.5 s$ B、 $2.5 s$ C、 $12.5 s$ D、 $0.5 s$ 或 $12.5 s$

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3. 在同一平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = a x$ 与二次函数 $y = a x^{2} - a$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 $8 m$ ，两侧距地面 $3 m$ 高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为 $6 m$ ，则厂门的高度约为（）

A、 $\frac{30}{7}$ B、 $\frac{38}{7}$ C、 $\frac{48}{7}$ D、 $\frac{50}{7}$

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5. 如图 $1$ ，质量为 $m$ 的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为 $15 c m$ ）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度 $v (c m / s)$ 和弹簧被压缩的长度 $x (c m)$ 之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图 $2$ 所示．根据图象，下列说法正确的是（）

A、小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B、当小球的速度最大时，弹簧的长度是 $9 c m$ C、若 $a = 3$ ，则小球的最大速度为 $4 c m / s$ D、当弹簧的长度为 $10 c m$ 时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同

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6. 某同学将如图所示的三条水平直线 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， $m_{3}$ 的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线 $m_{4}$ ， $m_{5}$ ， $m_{6}$ 的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1 （ a < 0 ）$ 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）

A、 $m_{1} ， m_{4}$ B、 $m_{2} ， m_{5}$ C、 $m_{3} ， m_{6}$ D、 $m_{2} ， m_{4}$

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7. 如图1，四边形ABCD， AD∥BC， ∠B=∠BCD=60°， AB=2AD，点E从点B 出发，沿B→A→D以每秒2个单位的速度匀速运动到点 D.同时，点F从点 B沿着线段BC向终点C 做匀速运动，它们同时到达终点.连结EF，CE，DE，设运动时间为t(秒)，△CEF的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示.下列选项正确的是 ( )

A、m=7 B、点(5， $5 \sqrt{3}$ )在该函数图象上 C、S最大时， $D E = 2 \sqrt{7}$ D、当 $S = \frac{35 \sqrt{3}}{4}$ 时， $t = \frac{5}{2}$

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8. 我们定义一种新函数：形如 $y ＝ |a x^{2} + b x + c| (a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数 $G ： y = |x^{2} - x - 6|$ 的图象（如图所示），并写出了下列结论：
$①$ 图象与坐标轴的交点为 $A (- 2, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 6)$ ；
$②$ 当 $x = \frac{1}{2}$ 时，函数取得最大值；
$③$ 当 $- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 或 $x \geq 3$ 时，函数值y随x值的增大而增大；
$④$ 若 $(x_{0}, y_{0})$ 在函数图象上，则 $(1 - x_{0}, y_{0})$ 也在函数图象上；
$⑤$ 当直线 $y = - x + m$ 与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是 $- 2 < m < 3$ ．
其中正确的结论有（　　）

A、 $① ③ ④$ B、 $② ③ ⑤$ C、 $① ② ⑤$ D、 $① ② ③$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ，点E在 $A B$ 边上，以BE为边向上作正方形 $B E F G$ ．在AE上取点H，连结 $H F$ ，以HF为边作正方形 $N F H M$ ，连结DN．若点M落在边 $A D$ 上，则 $D N$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ²为y（单位：km²）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C ，最低点D（m ， 36），且经过E（1，100）和F（n ， 100）两点．下列选项正确的是（）

A、m＝8 B、n＝16 C、点C的纵坐标为120 D、点（12，45）在该函数图象上

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11. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞3．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 7 x + \frac{45}{2}$ 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 $C_{1}$ ，将 $C_{1}$ 向左平移得到 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 与x轴交于点B、D，若直线 $y = \frac{1}{2} x + m$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 共有3个不同的交点，则m的取值范围是 $($ 　　 $)$

A、 $- \frac{45}{8} < m < - \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{29}{8} < m < - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{29}{8} < m < - \frac{5}{2}$ D、 $- \frac{45}{8} < m < - \frac{1}{2}$

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13. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 开口向下，过 $A (- 1, 0)$ ， $B (m, 0)$ 两点，且 $1 < m < 2$ .甲同学认为：若点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线上， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ .乙同学认为：当 $a \leq - 1$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（）

A、甲、乙都正确 B、甲、乙都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确

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14. 用 $12$ 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）

A、方案 $1$ B、方案 $2$ C、方案 $3$ D、都一样

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