《圆与三角形》精选压轴题（二）—浙江省九（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-14 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，以 $△ A B C$ 的边 $B C$ 为直径的半圆分别交 $A B$ ， $A C$ 于点D，E，O是圆心，连结 $D E$ ， $O E$ ，若给出下列结论：① $∠ D E O = ∠ A$ ；② $∠ A = 60 °$ ，则 $B D + C E = B C$ ．其中下列判断正确的是（）

A、①，②都对 B、①对，②错 C、①错，②对 D、①，②都错

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2. 小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图 1 所示，于是他手绘了如图 2 所示的图形。图 2 中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形。若 $A B = 7$ ， $C D = 3$ ，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（）

A、 $9 : 49$ B、 $16 : 49$ C、 $24 : 49$ D、 $25 : 49$

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二、填空题

3. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $P$ 是 $⊙ O$ 上一点，以 $P$ 为圆心，适当长为半径作弧交直径 $A B$ 所在的直线于点 $C, D$ ；分别以 $C, D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作弧，两弧交于点 $E$ ；连结 $P E$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ；以 $B$ 为圆心， $P F$ 长为半径作弧交 $⊙ O$ 于点 $M$ ，连结 $A M$ ．若 $A M = 8$ ， $B G = 1$ ，则 $⊙ O$ 的半径长是．

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4. 如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．

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5. 如图是以点 $O$ 为圆心， $A B$ 为直径的圆形纸片．点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，将该圆形纸片沿直线 $C O$ 对折，点 $B$ 落在 $⊙ O$ 上的点 $D$ 处（不与点 $A$ 重合）．连接 $A D$ ， $B D$ ，分别延长 $B A$ 和 $C D$ ，并相交于点 $E$ ．若 $\frac{E A}{E O} = k$ ， $B D = 2$ ，用含 $k$ 的代数式表示 $⊙ O$ 的面积是．

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三、综合题

6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A C = O A$ ，点 $D$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 上，点 $E$ 是 $C D$ 中点，连结 $A D$ 分别交 $O C$ ， $O E$ 于点 $F$ ， $G$ ．

(1)、请直接写出 $∠ A O C$ 与 $∠ E G D$ 的度数．

(2)、求证： $△ A C F ∽ △ O G F$ ．

(3)、 $△ A F C$ ， $△ O D G$ 的面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．若 $C F = k O F$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．（用含 $k$ 的式子表示）

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7. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是半径 $O B$ 上一动点（ $P$ 不与 $O, B$ 重合），过点 $P$ 作弦 $C D$ 垂直 $A B$ ，连结 $A C, A D$ ，以 $A D$ 为直角边作等腰 Rt $△ A D F$ ，且 $∠ F A D = 90^{\circ}$ ，连结 $C F$ ，分别与 $A B$ 和 $⊙ O$ 交于 $E, Q$ 两点．

(1)、求证： $∠ A D Q = ∠ A F C$ ；

(2)、求证： $C E^{2} + E Q^{2} = Q F^{2}$ ；

(3)、当点 $P$ 在半径 $O B$ 上运动时， $\frac{E Q}{O P}$ 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由。

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8. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ． D为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，连结 $B D$ 交 $A C$ 于点E，连结 $A D$ 并延长交 $B C$ 延长线于点F．

(1)、求证： $△ C D F ∽ △ A B F$ ．

(2)、若 $B D ⊥ A C$ ．
①求证： $∠ B A C = 2 ∠ C A F$ ．
②当 $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ 时，求 $\frac{S_{△ C D F}}{S_{△ A B F}}$ 的值．

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9. 已知：如图， $A B ， C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，E为半径 $O C$ 上一点（不与点O，C重合），作 $E F ⊥ O C$ 交 $\overset{⌢}{B C}$ 于点F，过点F，D分别作 $A B$ 的垂线，垂足为点H，G，连接 $E H$ ．

(1)、当点E是 $O C$ 的中点时，求 $\overset{⌢}{C F}$ 的度数；

(2)、当 $\frac{C E}{5} = \frac{E F}{10} = \frac{F H}{12}$ 时，求 $\frac{O H}{O B}$ 的值；

(3)、求证： $E H = D G$ ．

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10. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O, A B = A C$ ． $D$ 为 $\overset{⏜}{A C}$ 上一点，连结 $B D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，连结 $A D$ 并延长交 $B C$ 延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ C D F ∽ △ A B F$ ．

(2)、若 $B D ⊥ A C$ ．
①求证： $∠ B A C = 2 ∠ C A F$ ．
②当 $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ 时，求 $\frac{S_{△ C D F}}{S_{△ B F}}$ 的值．

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11. 如图，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点， $B C$ 的延长线交 $△ A D C$ 的外接圆于点 $E$ ，作 $A F ∥ B E$ 交 $\overset{⌢}{A E C}$ 于点 $F$ ，连结 $D F$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，记 $k = \frac{D C}{B C}$ ．
【认识图形】求证： $∠ A C B = ∠ C D F$ ．
【探索关系】求证： $D F = k A C$ ．
【问题解决】若点 $M$ 与点 $E$ 关于 $C F$ 对称
①当 $\frac{A F}{C E} = \frac{3}{2}$ 时，求k的值．
②求 $k$ 的最大值．

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12. 如图 1，四边形 $A B C D$ 为圆内接四边形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A E$ 上， $D F = A E, ∠ D F C = ∠ B D C$ ．

(1)、求证： $C F = A B$ ．

(2)、如图 2，若点 $B$ 为 $\overset{⏜}{B C}$ 的中点，求证： $B E^{2} = C E \cdot C B$ ．

(3)、在（2）的条件下， $A F = 1, △ D E F$ 的面积为 2 ，求 $C E$ 的长．

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13. 如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D ， E$ 分别在 $A B ， B C$ 边上，且 $∠ C D E = 45 °$ ．经过点 $C ， D ， E$ 的 $⊙ O$ 分别交 $A C ， A B$ 边于点 $F ， G$ ，连结 $D F$ ．

(1)、求证： $C F = C E$ ．

(2)、若 $A B = 6 \sqrt{2}$ ， $D F = 2 D E$ ，求 $C E$ 的长．

(3)、如图 $2$ ，连结 $C G$ ，若 $C G ∥ D E$ ，请直接写出 $\frac{C E}{B E}$ 的值．

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14. 如图，点C在以 $A B$ 为直径的半圆周上，连结 $A C$ ， $B C$ ，点D，点E分别在 $B C$ ， $A B$ 上运动，且 $B D = A E$ ，连结 $D E$ ．已知 $A B = 10$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $B C$ 的长．

(2)、探究：当 $B D$ 为何值时， $△ B D E$ 面积达到最大值？并求出最大值．

(3)、过点D作 $D F ⊥ A B$ 于点F．当 $B D$ 为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似？

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15. 如图，四边形 A B C D 内接于 $⊙ O, A B = A C, A C ⊥ B D$ 于点 $H$ ．

(1)、直接写出 $\frac{∠ B A C}{∠ C A D}$ 的值为；

(2)、求证： $B H - H D = C D$ ；

(3)、若 $t a n ∠ A B C = 3$ ，求 $\frac{A D}{C D}$ 的值．

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16. 如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于点 $E$ ， $F$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，连接 $A C$ ， $C F$ ， $F B$ ， $A F$ ， $A F$ 与 $C D$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $∠ A F C = ∠ C A B$ ；

(2)、连接 $C B$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，当 $A F ⊥ C B$ 时， $△ C F G$ 是等腰三角形吗？请说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $B F = 4$ ， $A C = 8$ ，求 $A F$ 的长．

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17. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ ， $A C$ 分别于点 $D$ ， $E$ ，连接 $B E$ ， $A D$ 相交于点 $P$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $B P = A C$ ；

(2)、若 $tan C = 2$ ，求 $\frac{D E}{B D}$ 的值；

(3)、过点 $D$ 作 $D G ⊥ B E$ 于点 $F$ ，交于 $⊙ O$ 于点 $G$ ，交 $A B$ 于点 $H$ （如图2）．求证： $D E^{2} = G H \cdot C E$ ．

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18. 如图 1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D, ∠ A C D$ 的平分线交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $A F, B F$ 。

(1)、判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由。

(2)、若 $A E = 2, B E = 8$ ，求 $A F$ 和 $C E$ 的长。

(3)、如图 2，若 $O$ 是 $D E$ 中点，求 $∠ B$ 的正弦值。

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19. 如图 1，Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A B = 20, B C = 15$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，连结 $D M$ ．

(1)、求证： $M D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图 2，过点 $B$ 作 $M D$ 的平行线交 $A C$ 于点 $E$ ．
①求 $A E$ 的长；
②如图 3，点 $P$ 在线段 $B E$ 上，连结 $D P$ 交并延长交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，当 $\frac{E P}{B P} = \frac{21}{4}$ 时，求 $D Q$ 的值．

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20. 已知 $A B$ 为直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于E，作点B关于 $C D$ 的对称点H，连结 $C H$ 并延长交 $⊙ O$ 于点P，连结 $P D$ ．

(1)、如图1，若对称点H与点O重合，试求 $∠ C P D$ 的度数．

(2)、如图2，连结 $A D$ 交 $C P$ 于点M，求证： $A D ⊥ C P$ ．

(3)、如图3，连结 $B P$ 交 $C D$ 于点F，若 $A B = 3$ ， $sin ∠ C P B = \frac{\sqrt{6}}{6}$ ，
①试求 $B E$ 的长；
②直接写出 $P C + P D$ 的值．

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21. 如图 $1$ ， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C = 6$ ，点 $O$ 为边 $B C$ 上一动点，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径的圆分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ， $G$ 为线段 $O F$ 的中点．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ O B E$ ；

(2)、如图 $2$ ，连接 $A G$ 交圆于点 $H$ ，当点 $H$ 为弧 $E F$ 的中点时，求此时 $O B$ 的长度；

(3)、如图 $3$ ，当圆 $O$ 与 $A C$ 相切时，连接 $E G$ ，若 $E G ∥ A C$ ，求 $△ O B E$ 和 $△ A B C$ 的周长之比．

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22. 如图1所示， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，G是弧 $A C$ 上一点，连接 $A D$ ， $A G$ 和 $D G$ ， H为 $D G$ 与 $A B$ 的交点．

(1)、求证： $∠ A D C = ∠ A G D$ ；

(2)、连接 $B G$ 交 $C E$ 于点M，
①如图2，若 $D G$ 恰好经过点 $O$ ， $A B = 4$ ， $C M = 2 E M$ ，求 $B G$ 的长度；
②如图3，过点A作 $A N ⊥ D G$ ，连结EN，若 $H E = 1$ ， $B H = k$ ， $S_{四边形 E B G N} = S_{△ A H N}$ ，请用含 $k$ 的代数式表示 $C D$ 的长度．

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23. 如图1，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B = 4 ， E$ 是 $A B$ 上的动点，过点 $E$ 作 $C D ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C, D$ ．连结 $B C$ ，取 $B C$ 的中点 $P$ ，连结 $D P$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，延长交 $⊙ O$ 于点 $N$ ．

(1)、如图2，连结 $B D$ ，求证： $B C = B D$ ．

(2)、如图3，当点 $M$ 与圆心 $O$ 重合时，求线段 $E M$ 的长度．

(3)、在点 $E$ 的运动过程中，当 $\frac{E M}{P M} = \sqrt{2}$ 时，求 $△ D E M$ 的面积．

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24. 如图1，点A，B在半径为2的 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 120 °$ ， $A C ⊥ B O$ ，垂足为 $C$ ． $∠ A C B$ 绕点C顺时针旋转，分别交 $⊙ O$ 于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN．

(1)、 $O C =$ ________；

(2)、如图2，当 $∠ A C M = 180 °$ 时，求 $\frac{M N}{A B}$ 的值；

(3)、如图3，当 $C M = C N$ 时，求 $M N$ 的长度；

(4)、如图4，当 $∠ A C N = ∠ B C N$ 时，请直接写出 $M N$ 的长度．

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