《圆与三角形》精选压轴题（一）—浙江省九（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-14 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 如图， $O A$ 是 $⊙ O$ 的半径，弦 $B C ⊥ O A$ ， $E$ 是 $⊙ O$ 上一点， $A E$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A D = 1$ ， $E D = 2$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

查看试题解析
2. 公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H是 $⊙ O$ 上的八等分点，任意取其中的三个点组成一个三角形，则组成钝角三角形的个数是（）

A、12个 B、18个 C、24个 D、32个

查看试题解析

二、填空题

3. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ B A C = ∠ C A D = 45 °$ ， $A B + A D = 6$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为．

查看试题解析
4. 如图， $⊙ O$ 经过 Rt $△ A B C$ 的直角顶点 $C$ ，交 $A B$ 于点 $D, E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ，且满足 $D E = F C = C G . A G = 2 B F = 1$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

查看试题解析
5. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦，过 $B$ 作半径 $O A$ 的平行线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过 $C$ 作弦 $C D ⊥$ $A B$ ，垂足为 $E$ ，连结 $A C, B C, B D, A D$ 。若 $D E = 8, C E = 2$ ，则 $A E : B E =$ ， $⊙ O$ 的半径长为。

查看试题解析
6. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，以 $C$ 为圆心， $2$ 为半径画圆，点 $P$ 是 $⊙ C$ 上一个动点，连接 $P A$ ， $P B$ ，记 $t = P A^{2} - P B^{2}$ ，则 $t$ 的取值范围为．

查看试题解析
7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 上任意一点，连接 $A D$ ， $D B$ ， $D C$ ，若 $A D$ 与 $△ B C D$ 的一边相等，则 $C D$ 的长为．

查看试题解析
8. 如图， $⊙ O$ 经过 $Rt △ A B C$ 的直角顶点 $C$ ，交 $A B$ 于点 $D 、 E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ，且满足 $D E = F C = C G ， A G = 2 B F = 1$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

查看试题解析
9. 如图，AD是△ABC的角平分线，过点A、D的圆与BC相切，与边AB、AC分别交于点E、F，若AD=6 $\sqrt{2}$ ， AE=8，AF=6，则 BC 的长为.

查看试题解析
10. 如图， $Rt △ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B = 90 °$ ， $O D ⊥ A C$ ，点E为 $B C$ 中点，连结 $C D 、 D E$ ，点F为线段 $A O$ 上一点且满足 $∠ F E D = 45 °$ ，若 $\tan ∠ A C B = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{A F}{F C} =$ ．

查看试题解析
11. 如图，以弦 $A B$ 为直角边作等腰直角 $△ A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，且点 $A$ ， $B$ ， $C$ 按顺时针排列， $A C$ 的垂直平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ， $C D$ ．若 $⊙ O$ 的半径为 $3$ ，则当弦 $A B$ 长度变化时， $△ A C D$ 面积的最大值为．

查看试题解析
12. 如图，将 $⊙ O$ 沿弦 $A B$ 折叠后，圆弧恰好经过圆心 $O$ ，且与弦 $P A$ 相交于点 $H$ ， $P H = 2 A H$ ，连结 $P B$ ．若 $A B = \sqrt{21}$ ，则 $P B$ 的长为．

查看试题解析

三、综合题

13. 如图， $△ A B C$ 为锐角三角形，以 $B C$ 为直径的圆O交 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点 $D, B D$ 与 $C E$ 交于点F．

(1)、若 $B C = 5, B D = 4, B E = \frac{7}{5}$ ，求 $A D, E F$ 的长；

(2)、若 $∠ D B C = 2 ∠ E C B, B F = 2 F D$ ，求 $\frac{C F}{E F}$ 的值．

查看试题解析
14. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，满足 $\overset{⌢}{A B} = 2 \overset{⌢}{C D}$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ，延长 $B C$ ， $A D$ 于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ C A D = 35 °$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、求证： $△ A B E ∽ △ C D E$ ；

(3)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $A D = 1$ ， $B D = 3$ ，求 $A B$ 的长．

查看试题解析
15. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是半径 $O B$ 上一动点（ $P$ 不与 $O$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 作弦 $C D$ 垂直 $A B$ ，连接 $A C$ ， $A D$ ，以 $A D$ 为直角边作等腰 $Rt △ A D F$ ，且 $∠ F A D = 90 °$ ，连接 $C F$ ，分别与 $A B$ 和 $⊙ O$ 交于 $E$ 、 $Q$ 两点．

(1)、求证： $∠ A D Q = ∠ A F C$ ；

(2)、求证： $C E^{2} + E Q^{2} = Q F^{2}$ ；

(3)、当点 $P$ 在半径 $O B$ 上运动时， $\frac{E Q}{O P}$ 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由．

查看试题解析
16. 如图，在圆内接 $△ A B C$ 中， $∠ A B C > 90 °$ ，弦 $B D > A C$ ，延长 $A D$ 至点E，延长 $B A$ 至点F，连接 $E F$ ，使 $E F = B D$ ，延长 $C D$ 交 $E F$ 于点G，使 $∠ E G D + ∠ D A B = 180 °$ ，延长 $C B ， D A$ 交于点H．

(1)、若 $∠ E G D = 75 °$ ， $C D$ 为直径，求 $∠ B A C$ 的度数．

(2)、求证： $\frac{E F}{H B} = \frac{A E}{A H}$ ．

(3)、求证： $A E = A C$ ．

查看试题解析
17. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中，以底边 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别交边 $A C$ 、 $A B$ 于点 $D$ 、 $E$ ，点 $F$ 在直径 $B C$ 下方的圆弧上，连结 $B F$ ， $C F$ ，过点 $A$ 作 $A G ⊥ F C$ 交 $F C$ 的延长线于点 $G$ ，已知 $∠ G A C = ∠ B A C$ ．

(1)、证明： $A G = A D$ ；

(2)、当 $A G = 15$ ， $G F = 24$ 时，求 $\cos ∠ B A C$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，求 $\frac{A C}{B F}$ 的值．

查看试题解析
18. 如图， $A B$ 为是 $⊙ O$ 直径，弦 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $∠ B A C = 2 ∠ A B D$ ，过点 $D$ 作 $A C$ 的垂线，垂足为点 $F$ ，连结 $O D$ ， $B C$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、求证： $△ B C D$ 为等腰三角形．

(3)、若 $r = 3$ ， $D F = \frac{4}{3} \sqrt{2}$ ，求 $A F$ 的长．

查看试题解析
19. 如图1，四边形 $A B C D$ 为圆内接四边形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A E$ 上， $D F = A E, ∠ D F C = ∠ B D C$ ．

(1)、求证： $C F = A B$ ．

(2)、如图2，若点 $B$ 为 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，求证： $B E^{2} = C E \cdot C B$ ．

(3)、在（2）的条件下， $A F = 1, △ D E F$ 的面积为2，求 $C E$ 的长．

查看试题解析
20. 如图1，已知 $A B$ 是⊙O的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，G是 $\overset{⌢}{A C}$ 上的一点，连结 $D G$ 交 $A B$ 于点H， $A G$ ， $D C$ 的延长线交于点F．

(1)、求证： $∠ F G C = ∠ A G D$ ；

(2)、①连结 $B D$ ，若 $A G ∥ B D$ ，求 $H E : C G$ 的值；
②连结 $A D$ ，若 $C G ∥ A D$ ， $O H = 2$ ， $B E = 1$ ，求⊙O的半径r．

查看试题解析
21. 四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 为 $⊙ O$ 直径，连结 $B D$ ，过A作 $A H ⊥ B D$ 于点 $H$ ．

(1)、如图1，求证： $∠ B A C = ∠ D A H$ ；

(2)、如图2，延长 $A H$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，连结 $O D$ ，且 $O D ∥ A B$ ；
①求证： $B D = C D$ ；
②若 $cos ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ， $A H = 3$ ，求 $C G$ 的长．

查看试题解析
22. 如图1，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $G$ 是弧 $A C$ 上一点，连接 $A D$ ， $A G$ ， $D G$ ．

(1)、求证： $∠ A G D = ∠ A D C$ ；

(2)、如图2，延长 $A G$ ， $D C$ 相交于点 $F$ ，连接 $C G$ ．
①已知 $A D = 3$ ，设 $A G = x, A F = y$ ，求x与y的关系式；
②记 $D G$ 与 $A B$ 的交点为 $P$ ，若 $A B = 10, C D = 8$ ，当 $A G = A P$ 时，求 $C G$ 的长．

查看试题解析
23. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $D C ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $G$ 是 $\overset{⏜}{A C}$ 上一点， $A G$ ， $D C$ 的延长线交于点 $F$ ．连结 $A D$ ， $G C$ ．

(1)、若 $E$ 为半径 $O B$ 的中点．求 $∠ D A B$ 的度数．

(2)、连结 $D G$ ．求证： $∠ A G D = ∠ C G F$ ．

(3)、若 $∠ F = 30^{\circ}$ ， $C G = 2 \sqrt{3}$ ， $⊙ O$ 的半径为3．求弦 $A D$ 的长．

查看试题解析
24. 如图1，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径， $C$ 为圆上一动点（不与 $A B$ 重合）， $C D ⊥ A B$ 于点 $G$ ， $E$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 上的一动点，延长 $A E$ 交 $D C$ 的延长线于点 $F$ ，连结 $A C$ ， $C E$ ， $C B$ ．

(1)、求证： $∠ A C G = ∠ A B C$ ．

(2)、若 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}$ ， $E C = 2$ ，求 $C F$ 的长．

(3)、如图2，若 $A B = 20$ ， $A E = 16$ ， $E C = 2 B C$ ，求 $E F$ 的长．

查看试题解析
25. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ ，交 $⊙ O$ 于D，过D作 $D E ⊥ A B$ 于点E，交 $B C$ 于点M，连结 $A D$ ．

(1)、求证：
① $A D = B C$ ；
② $A D^{2} = 2 A E \cdot A B$ ；

(2)、如图2，若 $M$ 是 $B C$ 中点，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

查看试题解析
26. 如图1，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，延长 $A O$ 交 $B C$ 于 $E$ 点，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ， $D$ 是劣弧 $\overset{⏜}{A C}$ 上一点，连接 $A D$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $M$ ，连接 $C D$ ．

(1)、求证： $∠ A C B = ∠ C D M$ ；

(2)、若 $B M = 5$ ， $A E = C M = 3$ ，求 $C D$ 的长；

(3)、如图2，连接 $B D$ 分别交 $A F$ 和 $A C$ 于点 $G$ 和点 $H$ ，若 $∠ D A G = ∠ D G A$ ，且 $G H = n$ ，请用含 $n$ 的值表示 $\frac{1}{B G} + \frac{1}{D G}$ 的值（不需要写出过程）．

查看试题解析
27. 如图1， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ} ，$ $A B = 20$ ， $B C = 15$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，连结 $D M$ ．

(1)、求证： $M D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图2，过点 $B$ 作 $M D$ 的平行线交 $A C$ 于点 $E$ ．
①求 $A E$ 的长；
②如图3，点 $P$ 在线段 $B E$ 上，连结 $D P$ 交并延长交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，当 $\frac{E P}{B P} = \frac{21}{4}$ 时，求 $D Q$ 的值．

查看试题解析
28. 如图

(1)、【问题提出】
如图1，AB为 $⊙ O$ 的直径， $A C ⊥ A B, A B = 16, A C = 6, P$ 为 $⊙ O$ 上的一动点，连结CP，求CP的最小值．

(2)、【问题探究】
如图2， $A B ⊥ B C, A B = 2 \sqrt{3}, B C = 2, D$ 为 $∠ A B C$ 内部一点，且满足 $∠ A D B = 12 0^{°}$ ，求CD的最小值．

(3)、【问题解决】
如图3，正方形ABCD是某社区的一块空地，经测量， $A B = 100 m$ ．社区管委会计划对该空地及周边区域进行重新规划利用，在射线AD上取一点 $E$ ，沿BE，CE修两条小路，并在小路BE上取点 $F$ ，将CF段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计）。根据设计要求， $∠ B F C = ∠ B C E$ ，为了节省铺设成本，要求休闲通道CF的长度尽可能小，问CF的长度是否存在最小值？若存在，求出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
29. （1）如图 $1$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A C ⊥ A B$ ， $A B = 16$ ， $A C = 6$ ， $P$ 为 $⊙ O$ 上的一动点，连接 $C P$ ，求 $C P$ 的最小值．
（2）在学习圆的性质时，同学们发现对角互补的四边形中，四个顶点共圆．
例如图 $2$ ，已知四边形 $A C B D$ 中， $∠ A + ∠ B = 180 °$ ，则 $A$ ， $C$ ， $B$ ， $D$ 四个点在同一个圆上．
问题解决：
$①$ 如图 $3$ ，已知 $A$ ， $C$ ， $B$ ， $D$ 四个点在同一个 $⊙ O$ 上．若 $∠ A$ ， $∠ E$ 在 $C D$ 的同侧，且 $∠ A = ∠ E$ ，请说明点 $E$ 也在 $⊙ O$ 上．
$②$ 如图 $4$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $D$ 为 $∠ A B C$ 内部一点，且满足 $∠ A D B = 120 °$ ，求 $C D$ 的最小值．

查看试题解析