《相似三角形》精选压轴题—浙江省九（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-14 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $∠ B = 45 °$ ， $E$ 是 $B C$ 边上的动点，连接 $D E$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ D E$ 于点 $F$ ．则 $D E \cdot A F$ 的值是（　）

A、 $12 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $12$ D、 $6$

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2. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $A B C D$ （如图所示），连结 $D F$ 并延长交 $B C$ 于点 $I$ ，若 $\frac{B I}{I C} = 2$ ，则 $t a n ∠ B A E$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 如图，正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，AF，CJ交于点P，则 $\frac{P A}{P F}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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4. 如图，等腰 $Rt △ A B C$ 中，点 $D$ 为斜边 $A B$ 的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 、 $A C$ 上的动点，满足 $F D ⊥ D E$ ，连结 $E F$ ．若 $2 ∠ E D B = ∠ C A E$ ，则 $\tan ∠ E F C$ 的值是（）

A、 $2$ B、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $3$

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5. 如图是由边长为1的小正方形组成的 $5 \times 3$ 网格， $△ A B C$ 的顶点及点 $M$ ， $N$ 都是格点， $A B$ 与格线 $C N$ 交于点 $D$ ， $A C$ 与 $M N$ 交于点 $E$ ．则有以下四个结论：① $A B = \sqrt{2} M N$ ；② $C E = 2 A E$ ；③ $∠ A D E = ∠ A C B$ ；④ $∠ A C B = 45 °$ ．其中正确的结论是（）

A、①② B、①④ C、③④ D、①②③

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 4$ ，若点E在以 $A D$ 为直径的半圆上运动，则 $\frac{E C}{E B}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - 2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = \sqrt{10}$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ P A C = ∠ P C B = ∠ P B A$ ，则 $C P$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}, A B = 8, A C = 6$ ，过点 $C$ 作 $B C$ 的垂线 $C D$ ，点 $P$ 在线段 $B C$ 上运动，点 $Q$ 在射线 $C D$ 上运动，始终满足 $∠ B A P = ∠ C A Q$ ，连结 $P Q$ ，当 $△ P C Q$ 与 $△ A B C$ 相似时，线段 $B P$ 的长是．

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9. 如图， $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一点，连结 $A E$ ，将 $△ A D E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B F$ ，连结 $E F$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $G$ ， $H$ ．若 $△ A F G$ 与 $△ A E C$ 相似，则 $\frac{A G}{B G} =$ ．

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 9, C D = 6$ ， E为边 $A D$ 上一点，正方形 $P Q M N$ 的顶点P，Q分别在线段 $B E, C E$ 上，M，N在边 $B C$ 上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则 $A E$ 的长为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 为 $B C$ 上的中线，将 $△ A D C$ 沿直线 $A D$ 翻折得到 $△ A D C'$ ， $C' D$ 与 $A B$ 交于点 $F$ ，连接 $C C'$ 与 $A B$ ， $A D$ 分别交于点 $E$ ， $O$ ，连接 $B C'$ ，则 $∠ C C' B =$ $.$ 若 $\frac{B E}{A E} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{B F}{F E} =$

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12. 数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片 $A B C D$ 中，幻方的四个顶点 $E ， F ， G ， H$ 分别落在矩形的边 $A D ， D C ， B C ， A B$ 上，顶点 $M$ 落在矩形内，通过测量发现顶点 $M$ 到 $A B$ 的距离为 $1 c m$ ，并测得 $\frac{A H}{B H} = \frac{5}{4}$ ，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为 $c m^{2}$ ．

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13. 如图， $P$ 是 $△ A B C$ 边 $B C$ 上一点，且 $\frac{B P}{P C} = \frac{3}{2}$ ， $P A ⊥ B A$ ，若 $A B = 6$ ， $A C = \sqrt{241}$ ，则 $B C =$ ．

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C =$ 90°， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，过点 $C$ 作 $B C$ 的垂线 $C D$ ，点 $P$ 在线段 $B C$ 上运动，点 $Q$ 在射线 $C D$ 上运动，始终满足 $∠ B A P = ∠ C A Q$ ，连结 $P Q$ ，当 $△ P C Q$ 与 $△ A B C$ 相似时，线段 $B P$ 的长是．

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15. 已知正整数a，b，c，满足 $\frac{b}{a - 2}$ ， $\frac{c}{b - 2}$ ， $\frac{a}{c - 2}$ 均为正整数，则 $a + b + c$ 的最大值是．

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16. 在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（ $△ A H D ≅ △ C F B, △ A B E ≅ △ C D G$ ）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．若 $B C = 3 A B$ ，矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为 $\frac{4}{9}$ ，则 $\frac{G H}{C G} =$ ．

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上，以 $D E$ 为边作菱形 $D E F G$ ，使点 $G$ 在 $C D$ 的延长线上，连结 $A F$ ， $C E$ ，延长 $C E$ 交 $A F$ 于点 $M$ ．若 $M$ 是 $A F$ 的中点，则 $\frac{A E}{D E} =$ ．

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18. 如图， $Rt △ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B = 90 °$ ， $O D ⊥ A C$ ，点E为 $B C$ 中点，连结 $C D 、 D E$ ，点F为线段 $A O$ 上一点且满足 $∠ F E D = 45 °$ ，若 $\tan ∠ A C B = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{A F}{F C} =$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，分别交边 $A B, A C$ 于点 $D, E$ ，连结 $D C, B E$ 交于点 $F$ ，若 $△ D E F$ 的面积为3， $△ A D E$ 的面积为13，则 $\frac{D E}{B C}$ 的值为； $△ F B C$ 的面积为．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3, A D = 4$ ，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿 $B C$ 向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿 $D A$ 向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接 $E F$ ，过点C作 $C G ⊥ E F$ 于点G，则 $C G$ 的最大值为．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 为 $B C$ 上的中线，将 $△ A D C$ 沿直线 $A D$ 翻折得到 $△ A D C^{'}$ ， $C^{'} D$ 与 $A B$ 交于点 $F$ ，连接 $C C^{'}$ 与 $A B$ ， $A D$ 分别交于点 $E$ ， $O$ ，连接 $B C^{'}$ ，则 $∠ C C^{'} B =$ ．若 $\frac{B E}{A E} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{B F}{F E} =$ ．

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22. 如图，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点， $B D = 2 D C$ ，连结 $A D$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上，若 $∠ B E C = 135 °$ ，则 $\frac{C E}{A C}$ 的值为．

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23. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长是3， $B P = C Q$ ，连接 $A Q, D P$ 交于点O，并分别与边 $C D, B C$ 交于点 $F, E$ ，连接 $A E$ ，下列结论： $① A Q ⊥ D P$ ； $② O A^{2} = O E \cdot O P$ ； $③ S_{△ A O D} = S_{四边形 O E C F}$ ； $④$ 当 $B P = 1$ 时， $tan ∠ O A E = \frac{11}{16}$ ，其中正确结论的个数是

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 内放置6个与正方形 $E F G H$ 相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在 $C D ， A D ， A B ， B C$ 上，则 $\frac{D E}{B M}$ 的值是，若点C，H，G在同一直线上，正方形 $E F G H$ 的边长是1，则矩形 $A B C D$ 的周长是．

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25. 如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为 $8 cm$ ，两个车轮的圆心的连线 $E F$ 与地面平行， $B C$ 与地面平行， $A B ⊥ B C$ ，车轮圆心 $F$ 在 $A B$ 的延长线上，支架 $F G ∥ A D$ ．支架 $C E ⊥ C D$ ，测得 $A D = 2 F G$ ， $B G = 48 cm$ ， $A B = 42 cm$ ， $C D = 78 cm$ ，并测得扶手前端 $D$ 到地面的距离为 $95 cm$ ．则点 $B$ 与点 $F$ 的距离为 $cm$ ；手推车内装有简易宝宝椅， $K L$ 为小坐板，打开后，椅子的支点 $H$ 到点 $C$ 的距离为 $18 cm$ ， $D L = 35 cm$ ， $K L ∥ B C$ ， $H K ∥ D E$ 则坐板 $K L$ 的宽度为 $cm$ ．

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三、综合题

26. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = m B C$ ， E是 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点D作 $D F ⊥ D E$ 交直线 $B C$ 于点F，连接 $E F$ 交 $C D$ 于点G，作 $D M ⊥ E F$ 交 $E F$ 于点M，交直线 $A B$ 于点N．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $\frac{D F}{D E}$ 值．

(2)、设 $\tan ∠ B F E = k$ ．
①若 $k = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{F G}{M G}$ 的值．（用含m的代数式表示）
②若 $△ D M G$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ E M N$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．（用含m，k的代数式表示）

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