《二次函数》精选压轴题（二）—浙江省九（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ （ $a \neq 0$ 且 $a, b$ 都是常数）经过点 $(3, 1)$ ，且对于符合 $- 1 < x_{1} < 0$ ， $4 < x_{2} < 5$ 的任意实数 $x_{1}, x_{2}$ ，其对应的函数值 $y_{1}, y_{2}$ 始终满足 $y_{1} y_{2} < 0$ ，则抛物线顶点的纵坐标为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{25}{16}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、 $\frac{20}{7}$

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2. 已知：二次函数 $y = a x (x - 2) + 2 (a \neq 0)$ 的图象上有三点的坐标分别为 $(- 1, y_{1})$ ， $(1, y_{2})$ ， $(4, y_{3})$ ．若在 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 这三个实数中，有且只有两个是正数，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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3. 点 $A (s, t)$ 在二次函数 $y = 2 {(x - m)}^{2}$ （m为常数）的图象上， $s - m = t \neq 0$ ．当 $s - 2 \leq x \leq s$ 时，二次函数的最大值与最小值的差为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3 a$ ，当 $- 4 \leq x \leq 0$ 时函数值 $y$ 有最小值 $- 2$ ，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则 $b$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{2}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ 或1 D、1

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5. 已知二次函数 $y = - 3 x^{2} + 9$ ．当 $- 2 ⩽ x ⩽ n$ 时，函数的最大值与最小值的差为 12 ，则 $n$ 的取值范围是（）

A、 $- \sqrt{3} ⩽ n ⩽ 0$
B、 $0 ⩽ n ⩽ 2$
C、 $- \sqrt{3} ⩽ n ⩽ 2$
D、 $\sqrt{3} ⩽ n ⩽ \sqrt{7}$

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6. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A (m, 0), m < 3$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．其中判断错误的是（）

A、 $3 a + c > 0$ B、若点 $P (4,2 n), Q (- 1,4 n + 2)$ 在图象上，则 $n < - 1$ C、 $3 b < 2 c$ D、若点 $P (1 + 2 k, 2 n), Q (1 - 2 k, 4 n + 2)$ 在图象上，则 $a - c ⩽ 2$

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7. 如图，小明从离地面高度为 $1 .5m$ 的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为 $y = a {(x - 1)}^{2} + 2$ ，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的 $\frac{1}{4}$ ．现在地上摆放一个底面半径为 $0 .3m$ ，高为 $0 .42m$ 的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（）

A、3.7 B、4.1 C、4.5 D、5

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，则下列说法中正确的是（）
①当 $a c < 0$ 时，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点 $(2, c)$ ，则该图象的对称轴为直线 $x = - 1$ ；
③当 $a > 0$ 时，若二次函数的图象与 $x$ 负半轴交于 $A (m, 0)$ 和 $B (n, 0)$ ，且 $m < n$ ，方程 $- 3 x = a x^{2} + b x + c$ 的解为 $x_{1} = p ， x_{2} = q$ ，若 $p < q$ ，则有 $m < p < q < n$ ．
④当 $a = - 1$ 时，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象与一次函数 $y = x$ 图象有两个交点 $(x_{1}, 0)$ ， $(x_{2}, 0)$ ，且 $x_{1} < 2 < x_{2}$ ，则 $2 b + c > 6$ ．

A、①② B、①④ C、①③ D、③④

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二、填空题

9. 当 $n \leq x \leq n + 1$ 时，二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 的最大值与最小值的差为3，则 $n =$ ．

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 m - 6$ （ $m$ 为常数）的图象与 $x$ 轴有交点，且当 $x \geq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图 2 是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线 $A B$ 上，圆弧的半径为 $\frac{13}{4}$ 米， $C D = 4$ 米．过拱尖 $P$ 作 $P N ⊥$ $C D$ 分别交 $A B, C D$ 于点 $M, N$ ．若 $\frac{P M}{M N} = \frac{3}{5}$ ，则高 $P N$ 等于。

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12. 在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数，且 $a > 0$ ）的图象上有点 $A (2, m)$ ，点 $B (6, n)$ ，设图象的对称轴为直线 $x = t$ ．
（1）若 $m = n$ ，则 $t$ 的值为；
（2）若 $m < n < c$ ，则 $t$ 的取值范围为．

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13. 已知抛物线 $y = m x^{2} - m x - 4 x + 4$ ，回答下列问题：
（1）无论 $m$ 取何值，抛物线恒过定点和；
（2）当 $m > 0$ 且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点 $(2, y_{1})$ ， $(n, y_{2})$ ，满足 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $n$ 的取值范围是．

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三、解答题

14. 【项目】小车沿斜面运动中路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系．
图1是小车从料面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米。小温和小州共同填写了如下实验记录表。
1 （秒）
0
2
3
$\dots$
$s$ （分米）
0
4
9
$\dots$

(1)、小温发现，路程 $s$ 与时间 $t$ 可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图 2 中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出 $s$ 关于 $t$ 的函数表达式．

(2)、若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个 5 秒和第二个 5 秒通过的路程之差。

(3)、小州说：把单位时间设为 1 秒，还可以研究第 $t$ 秒内通过的路程 $s^{^{'}}$ （分米）与第 $t$ 秒之间的函数关系。
请写出一个路程 $s^{^{'}}$ （分米）与第 $t$ 秒之间的结论，井通过计算说明理由．

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15. 如图 1，过点 $A$ 作 $A B ⊥$ 直线 $l$ 于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $A C / / y$ 轴交直线 $l$ 于点 $C$ ．线段 $A C$ 的长度称为点 $A$ 到直线 $l$ 的竖直距离．
【探索】

(1)、如图 1，设点 $A, C$ 的坐标为 $A (x, y_{A}), C (x, y_{c})$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的紧直距离即为 $A C$ 的长度，则 $A C =$ ．（用含 $y_{A}, y_{C}$ 的代数式表示）

(2)、当直线 $l$ 与 $x$ 轴不平行时，点 $A$ 到直线 $l$ 的垂直距离 $A B$ 与点 $A$ 到直线 $l$ 的坚直距离 $A C$ 存在一定的数量关系，若此时直线 $l : y = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \sqrt{5}$ ，则 $A B =$ AC

(3)、【应用】
如图 2，公园有一斜坡草坪（可看作线段 $O C$ ），其倾斜角为 $30^{\circ}$ ，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线 $y = - x^{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{3} x$ ，其最远处落在草坪的 $C$ 处．若在山上种一棵树 $M N$ （垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架 $P N$ ，请求出支架 $P N$ 的最大值．

(4)、【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角 $30^{\circ}$ 不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与 $y$ 轴相切于点 $O$ ，若 $O C = 12 m$ ，为了保证灌溉山上种植的这棵树 $M N$ （垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高 $M N$ 的最大值是多少？

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1 （秒）	0	2	3	$\dots$
$s$ （分米）	0	4	9	$\dots$