《三角形的综合》精选压轴题（三）—浙江省八（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-14 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 5 ， A B = 6$ ，点D在 $B C$ 的延长线上，过点D作 $D E ⊥ A B$ 交边 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F，记 $D E$ 长为a， $E F$ 长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $a + b$ B、 $a - b$ C、 $a b$ D、 $a^{2} + b^{2}$

查看试题解析
2. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中，斜边 $A B = 6$ ，以 $A C$ 为边向 $△ A B C$ 外作等边三角形 $A C D$ ，以 $B C$ 为腰作等腰 $Rt △ B C E$ ，连结 $D E$ ．若 $A C$ 为 $a$ ， $B C$ 为 $b$ ， $D E$ 为 $c$ ，则下列关系式成立的是（）

A、 $a b + 8 = c^{2}$ B、 $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ C、 $a^{2} + c^{2} = 3 b^{2}$ D、 $a b + 36 = c^{2}$

查看试题解析
3. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，以 $A B, A C$ 为边作正方形，点 $E$ 落在 $F G$ 上．记正方形 $A B D E$ 的面积为 $S_{1}, △ A E G$ 的面积为 $S_{2}$ ，设 $B F = x, E F = y$ ．若 $S_{1} = 6 S_{2}$ ，则下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x - y$ C、 $x y$ D、 $\frac{x}{y}$

查看试题解析
4. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 的点 $B 、 C 、 E$ 在同一条直线上，点 $M$ 为 $A F$ 的中点，连接 $D M 、 C M 、 C F$ ，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段 $D M$ 的长（）

A、 $C F$ B、 $C M$ C、 $D G$ D、 $A F$

查看试题解析
5. 如图， $A D$ 平分 $∠ C A F, B D = C D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E, D F ⊥ A B$ 交 $B A$ 的延长线于点 $F, A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ．下列结论：① $△ C D E ≌ △ B D F$ ；② $C E = A B + A E$ ；③ $∠ B D C = ∠ B A C$ ；④ $∠ D A F = ∠ C B D$ ．其中结论正确的为（）

A、①②③④ B、③④ C、①②③ D、①②④

查看试题解析

二、填空题

6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ， $D$ 是 $B C$ 上的一点，连接 $A D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠，点 $B$ 落在点 $E$ 处， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $A D = C D$ ，则 $\frac{D F}{A F} =$ ．

查看试题解析
7. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = A C$ ，将 $△ A B C$ 沿着 $D F$ 翻折，使顶点 $B$ 的对应点 $E$ 刚好落在边 $A C$ 上， $A G$ 平分 $∠ B A C$ 交 $D E$ 于点 $G$ ，连接 $F G$ ．若 $C E = A G$ ，则 $∠ E F G =$ ．

查看试题解析
8. 如图，边长为5的大正方形 $A B C D$ 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $E F G H$ 组成，连结 $A F$ 并延长交 $B C$ 于点M．若 $A H = H E$ ，则 $C M$ 的长为．

查看试题解析
9. 在一次综合实践活动中，小明将6个边长为1的小正方形进行如下操作：第一次操作，三个小正方形一组，边重叠拼接成如图1所示的2个“ $L$ 型”；第二次操作，将这2个“ $L$ 型”顶点 $G$ 、 $J$ 重合，并且使得 $E$ ， $G (J)$ ， $H$ 三点共线，摆放成如图2所示的图形；第三次操作，将图2中的新图形放置在长方形纸片 $A B C D$ 中，此时发现，小正方形的顶点 $E$ 、 $F$ 、 $H$ 、 $I$ 都落在长方形 $A B C D$ 的各边上，若 $A B = 3$ ，则 $B C =$ ．

查看试题解析
10. 在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点， $∠ G D H = 90 °$ ， $∠ G D H$ 绕点D旋转， $D G, D H$ 分别与边 $A C$ ， $B C$ 交于E，F两点，下列结论：
① $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ；② $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ；③ $S_{四边形 C E D F} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ；④ $△ D E F$ 始终为等腰直角三角形，其中正确的是

查看试题解析
11. 如图 $△ A B P ， ∠ B = 45 ° ， ∠ A P B = 120 °$ ，延长 $B P$ 至C，连接 $A C$ ．
（1）若 $P C = P A$ ，则 $∠ C =$ ；
（2）若 $P C = 2 P B$ ，则 $∠ C =$ ．

查看试题解析

三、综合题

12. 如图，已知 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， D为 $B C$ 边上一点， $∠ A D C - ∠ D A C = 90 °$ ， E为三角形外一点， $A E$ 交 $B C$ 于点 $F, B E = B F, ∠ A B C = ∠ E B C$ ．

(1)、若 $∠ B A D = 70 °$ ，求 $∠ A D B$ 的度数．

(2)、求证： $△ A B F ≌ △ D B E$ ．

(3)、当 $△ A D E$ 为直角三角形时，求 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}}$ 的值．

(4)、若 $B E = 1, D E = 2 \sqrt{3}$ ，直接写出 $△ A D E$ 的面积．

查看试题解析
13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $D$ 为 $B C$ 上方一个点，且 $∠ B D C = 60 °$ ，过点 $A$ 作直线 $E F$ 交线段 $D B$ 于点 $E$ ，交线段 $D C$ 于点 $F$ ，且使得 $∠ D E F = 60 °$ ．

(1)、 $∠ B A C$ 的度数为______；

(2)、探究线段 $B E$ ， $C F$ ， $E F$ 的数量关系；

(3)、如图2，画出 $△ D E F$ 关于直线 $E F$ 的对称图形，得到 $△ G E F$ ，连接 $G A$ ， $G C$ ．
①若 $E F$ 长为 $a$ 、 $A B$ 长为 $b$ ，求四边形 $A G C F$ 的周长（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）；
②若 $S_{△ A B C} = m$ ， $S_{△ D B C} = n$ ，请直接写出 $△ A C F$ 的面积（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．

查看试题解析
14. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线 $M N$ 经过点A， $A B$ ， $A C$ 在直线 $M N$ 异侧， $B D ⊥ M N$ 于点D， $C E ⊥ M N$ 于点E．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ C A E$ ．

(2)、如图2，连结 $C D$ ．
①若 $B D = 2$ ， $C E = 8$ ，求 $C D$ 的长．
②取 $B C$ 中点G，连结 $D G$ ，猜想 $D B$ ， $D A$ ， $D G$ 三者的数量关系，并说明理由．

查看试题解析
15. 如图 $1$ ，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D ， E$ 在边 $B C$ 、 $A C$ 上，且 $B D = C E$ ，连接 $A D$ 、 $B E$ 交于点 $F$ ．

(1)、①求证： $△ A B D$ ≌ $△ B C E$ ；
②过点 $A$ 作 $A G ⊥ B E$ ，请直接写出线段 $A F$ 与 $G F$ 的数量关系_______．

(2)、如图 $2$ ，连接 $C F$ ，当 $C F ⊥ A D$ 时，请求出线段 $A F$ 与 $B F$ 的数量关系．

(3)、如图 $3$ ，延长 $B E$ 到点 $P$ ，当 $∠ P = 30 °$ ， $P B = 6 F B$ 时，则 $\frac{P F}{A F} =$ ______．

查看试题解析
16. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $C A = C B$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 在边 $A B$ 的延长线上，且 $D A = D E$ ．

(1)、设 $∠ D A E = α$ ，求 $∠ B D E$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）．

(2)、如图2，过点 $D$ 作 $D F ∥ A E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，求证： $B E = D F$ ．

(3)、如图3，在边 $A B$ 上取点 $M$ ，使 $∠ C M D = 45^{\circ}$ ，作 $C N ⊥ C M$ 交 $M D$ 的延长线于点 $N$ ，若 $M D = 2$ ， $D N = 1$ ，求 $B E$ 的长．

查看试题解析
17. 如图 $1$ ，在等边三角形 $A B C$ 的边 $B C$ ， $A C$ 各取一点 $D$ ， $E$ ，使 $B D = C E$ ， $A D$ ， $B E$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ B C E$ ；

(2)、如图 $2$ ，平面内存在一点 $Q$ ，满足 $A Q = B Q = P Q$ ．
①求 $∠ Q B C$ 的度数；
②如图 $3$ ，以 $B C$ 所在的直线为 $x$ 轴，过点 $A$ 垂直 $B C$ 所在的直线为 $y$ 轴建立直角坐标系，连接 $O P$ ，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ．当 $△ B P O$ 为等腰三角形时，请直接写出点 $P$ 的坐标．

查看试题解析
18. 【探究发现】
（1）如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A C$ 、 $A B$ 上的两点，若满足 $∠ E D F = 90 °$ ， $∠ B D F = 40 °$ ，那么．
① $∠ A D E$ 的度数为________；
②线段 $A E$ 、 $A F$ 、 $A B$ 之间满足的数量关系为________．
【应用类比】
（2）如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A C$ 、 $A B$ 上的两点，若满足 $∠ E D F = 60 °$ ，试探究线段 $A E$ 、 $A F$ 、 $A B$ 之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别是直线 $A C$ 、 $A B$ 上的两点，若满足 $C E = 3$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，请求出 $A F$ 的长．

查看试题解析
19. 综合实践
【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．
如图1，第一次拉成折线 $B A C$ ，且 $A B = A C$ ，第二次拉成折线 $E A F$ ，探究绳子两个端点之间距离的变化情况．
周老师和同学们在探究时，有如下交流：
小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即 $E F \neq B C$ ．
小聪：我发现问题可抽象为：如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，在 $A C$ 和 $A B$ 延长线上分别取点 $F$ ， $E$ ，若 $C F = B E$ ，则 $E F > B C$ ．
小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点 $D$ 是 $E F$ 中点．
周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小．
结合上述师生的交流完成下面任务：
【探究论证】
（1）如图2，请你证明小颖发现的结论；
（2）如图2，请你证明小聪发现的结论；
【创新应用】
（3）如图3， $△ A B C$ 中， $∠ A = 105 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 上，若 $A D = B E$ ，求 $D F + E F$ 的最小值．

查看试题解析