湘教版数学八年级上册5.4 角平分线的性质第二课时同步分层练习

试卷更新日期：2025-12-09 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 三角形中到三条边距离相等的点是（）

A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条中线的交点 C、三条高的交点 D、三条角平分线的交点

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2. $∠ A O B$ 的平分线上一点P到 $O A$ 的距离为5，Q是射线 $O B$ 上任一点，则（　　）

A、 $P Q > 5$ B、 $P Q \geq 5$ C、 $P Q < 5$ D、 $P Q \leq 5$

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3. 如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（）

A、 $△ A B C$ 的三条中线的交点 B、 $△ A B C$ 三条角平分线的交点 C、 $△ A B C$ 三条高所在直线的交点 D、 $△ A B C$ 三边的中垂线的交点

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4. 如图，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点， $P D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $P D = P E$ ，则（）

A、点 $P$ 在 $∠ A$ 的平分线上 B、点 $P$ 在 $∠ B$ 的平分线上 C、点 $P$ 在 $∠ C$ 的平分线上 D、点 $P$ 是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 平分线的交点

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5. 如图， $∠ A O B$ 是一个任意角，在边 $O A 、 O B$ 上分别取 $O M = O N$ ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，则过角尺顶点C的射线 $O C$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线，其依据是（）

A、角平分线上的点到角两边距离相等 B、角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 C、三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等 D、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等

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6. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长 $A B = 10 cm$ ，支撑板顶端的C恰好是托板 $A B$ 的中点，托板 $A B$ 可绕点C转动，支撑板 $C D$ 可绕点D转动．当 $C D ⊥ A B$ ，且射线 $D B$ 恰好是 $∠ C D E$ 的平分线时，此时点B到直线 $D E$ 的距离是（）

A、 $3 cm$ B、 $5 cm$ C、 $6 cm$ D、 $10 cm$

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7. 如图，已知 $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $P E = 4$ ， $P D ⊥ O A$ 于点D， $P E ⊥ O B$ 于点E．如果点M是 $O P$ 的中点，则 $D M$ 的长是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，一个加油站恰好位于两条公路 $m$ ， $n$ 所夹角的平分线上，若加油站到公路 $m$ 的距离是 $80 m$ ，则它到公路 $n$ 的距离是 $m$ ．

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9. 如图， $O P$ 平分 $∠ M O N$ ， $P A ⊥ O N$ 于点 $A$ ，点 $Q$ 是射线 $O M$ 上的一个动点，若 $P A = 2$ ．则 $P Q$ 的最小值为．

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10. 点 $P$ 到 $△ A B C$ 的三边 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的距离相等，则点 $P$ 的位置在．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是角平分线， $E$ ， $F$ 分别为 $A C$ ， $A B$ 上的点，且 $∠ A E D + ∠ A F D = 18 0^{∘} . D E$ 与 $D F$ 有何数量关系 $?$ 请说明理由．

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二、能力提升

12. 如图，直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A、1处 B、2处 C、3处 D、4处

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13. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）

A、 $∠ B D E = ∠ B A C$ B、 $∠ B A D = ∠ B$ C、 $D E = D C$ D、 $A E = A C$

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14. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示， $△ A B C$ 是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路 $A B$ 、 $A C$ 的距离相等，且使得 $S_{△ A B H} = S_{△ B C H}$ ，则凉亭H是（　　）

A、 $∠ B A C$ 的角平分线与 $A C$ 边上中线的交点 B、 $∠ B A C$ 的角平分线与 $A B$ 边上中线的交点 C、 $∠ A B C$ 的角平分线与 $A C$ 边上中线的交点 D、 $∠ A B C$ 的角平分线与 $B C$ 边上中线的交点

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B$ 和 $∠ C B A$ 的平分线相交于点P，连接PA，PB，PC，若 $△ P A B$ ， $△ P A C$ ， $△ P B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，则有（）

A、 $S_{1} < S_{2} + S_{3}$ B、 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ C、 $S_{1} > S_{2} + S_{3}$ D、 $2 S_{1} = S_{2} + S_{3}$

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ，连接 $A D$ ，若 $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 4$ ， $A C = 7$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $1.5$ C、 $2$ D、 $2.5$

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17. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为 F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC 的周长是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $A D ⊥ B D$ ， $△ B C D$ 的面积为45， $△ A D C$ 的面积为20，则 $△ A B D$ 的面积等于．

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19. 如图， $∠ A O B = 150 °$ ， $O P$ 平分 $∠ A O B, P D ⊥ O B$ 于点D， $P C ∥ O B$ 交 $O A$ 于点C，若 $P D = 3$ ，则 $O C$ 的长为．

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20. 如图， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D, E$ 为 $A B$ 的中点，已知 $A B = 4, B C = 3, S_{△ B D E} = 2$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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21. 如图， $O C$ 是 $∠ A O B$ 内部的一条射线，P是射线 $O C$ 上任意一点， $P D ⊥ O A ， P E ⊥ O B$ ．下列条件： $① ∠ A O C = ∠ B O C ； ② P D = P E ； ③ O D = O E ； ④ ∠ D P O = ∠ E P O$ ，其中能判定 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线的有．（填序号）

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22. 点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的角平分线上，点 $P$ 到 $O A$ 边的距离等于10，点 $Q$ 是 $O B$ 边上的任意一点，则 $P Q$ 的取值范围是

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的平分线 $A E$ ， $B F$ 相交于点 $O$ ， $A E$ 交 $B C$ 于 $E$ ， $B F$ 交 $A C$ 于 $F$ 过点 $O$ 作 $O D ⊥ B C$ 于 $D$ ，下列四个结论：① $∠ A O B = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ C$ ；②当 $∠ C = 60 °$ 时， $A F + B E = A B$ ；③若 $O D = a$ ， $A B + B C + C A = 2 b$ ，则 $S_{△ A B C} = a b$ ．其中正确的是．（填写正确的序号）

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24. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ C = 90 °$ ， $C D = 1cm$ ，点P是 $A B$ 上一动点．

(1)、连接 $D P$ ，求 $D P$ 的最小值；

(2)、若 $∠ B = 30 °$ ，求 $△ A D B$ 的面积．

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25. 如图， $B D$ ， $C D$ 分别是 $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线， $B P$ ， $C P$ 分别是 $∠ E B C$ ， $∠ F C B$ 的平分线．

(1)、填空：当 $∠ A B C = 62 °$ ， $∠ A C B = 68 °$ 时， $∠ D =$ $°$ ， $∠ P =$ $°$ ；

(2)、当 $∠ A = 48 °$ 时，求 $∠ D$ ， $∠ P$ 的度数；

(3)、请你猜想，当 $∠ A$ 的大小变化时， $∠ D + ∠ P$ 的值是否变化？请说明理由．

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三、拓展创新

26. 如图， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ， P为 $O C$ 上的一点， $∠ M P N$ 的两边分别与 $O A 、 O B$ 相交于点M、N．

(1)、如图1，若 $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ M P N = 90 °$ ，过点P作 $P E ⊥ O A$ 于点E，作 $P F ⊥ O B$ 于点F，请判断 $P M$ 与 $P N$ 的数量关系，并说明理由；

(2)、如图2，若 $∠ A O B = 120 °$ ， $∠ M P N = 60 °$ ，求证： $O P = O M + O N$ ．

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27. 综合与实践

背景	【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现．
素材	如图1， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ C = 90 °$ ．操作：南南和北北画出 $∠ C A B$ 的角平分线 $A E$ 与 $A B$ 的垂直平分线 $D E$ ， $A E$ 与 $D E$ 交于点 $E$ ．发现：当 $A C$ 长度不变， $B C$ 长度变化时，点 $E$ 的位置也会随之变化．当点 $E$ 位于某个特殊位置时， $∠ B$ 的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性．
问题解决
任务1	在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点 $E$ 正好落在边 $B C$ 上．（1）请利用尺规作图帮助南南找出点 $E$ 的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法）
任务2	（2）点 $E$ 在图2的位置时，南南和北北发现： ① $∠ B =$ ； ② $B E = 2 C E$ ，请证明这一发现．
任务3	（3）继续探索发现，如图3所示， $C$ 、 $E$ 、 $D$ 三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现： ① $∠ B =$ ； ②若已知 $A D = a$ ， $B C = b$ ，则能用含字母 $a$ 、 $b$ 的式子表示线段 $D E$ 的长度．请写出 $D E$ 的长度，并说明理由．

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湘教版数学 八年级上册5.4 角平分线的性质 第二课时 同步分层练习

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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