浙江省环大罗山联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-22 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列抛物线中，焦点坐标为 $(0, \frac{1}{4})$ 的是（）

A、 $y^{2} = \frac{1}{2} x$ B、 $y^{2} = x$ C、 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ D、 $x^{2} = y$

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2. 已知直线l的一个方向向量为 $\vec{A B} = (\sqrt{3}, 3)$ ，则直线l斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (2, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, μ, - 3)$ ， $\vec{c} = (1, 2, 3)$ ，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数 $μ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、0

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4. “ $a = 1$ ”是“直线 $a x + (1 - a) y - 2 = 0$ 与直线 $(a - 1) x + (2 a + 3) y - 3 = 0$ 互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $A B < 0$ ， $B C > 0$ ，则直线 $A x - B y - C = 0$ 不经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 若圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 \sqrt{3} y + 20 = 0$ 相交，则a的取值范围（）

A、 $(4, 6)$ B、 $(2, 10)$ C、 $(6, 8)$ D、 $(8, 10)$

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点， $P$ 是椭圆上的一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ，则椭圆离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{2}, 1)$

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8. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足 $N S ⊥ M O$ ，则下列结论正确的是（）

A、点S可以是棱 $C C_{1}$ 的中点 B、点S的轨迹是矩形 C、点S轨迹所围成的图形面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、点S轨迹的长度为 $2 + \sqrt{2}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分.

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ C、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则 $\vec{b} - \vec{a}$ ， $\vec{b} - \vec{a} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$ 必共面 D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若直线倾斜角越大，则斜率越大 B、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距相等的直线有 $2$ 条 C、若直线l经过点 $A (1, 0)$ 、 $B (2, \tan α)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是 $α$ D、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角θ的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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11. 已知曲线C： $4 x^{2} - x y + 4 y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线C关于原点对称 B、直线 $y = 1$ 与曲线C有公共点 C、曲线C上任一点的横坐标的取值范围是 $[- \frac{4 \sqrt{7}}{21}, \frac{4 \sqrt{7}}{21}]$ D、曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 $[\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{14}}{7}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 直线 $l$ 的方程为 $(a + 2) x + (a - 2) y - 2 a = 0$ （a为常数）恒过定点.

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13. 已知点 $A (2, 0, 0)$ 、 $B (0, 0, 1)$ 、 $C (3, 1, - 1)$ ，则点C到直线AB的距离为.

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14. 已知O为坐标原点，双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若 $|P A| = \sqrt{3} |P O|$ ，则C的渐近线方程为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2， $E, F, G, H$ 分别是棱 $A B, A D, D C, B C$ 的中点.

(1)、求 $\vec{G F} \cdot \vec{A C}$ 与 $\vec{E F} \cdot \vec{B C}$ ；

(2)、求 $|H F|$ 的长.

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16. 已知点 $P (\sqrt{3} + 2, 3 - \sqrt{3})$ ，直线 $a x - y + 2 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 7 = 0$ .

(1)、过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线l，求直线l的方程；

(2)、若在圆 $C$ 上至少存在三个点到直线 $a x - y + 2 = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点A在T上，点 $P (t, 0)$ ，其中 $t > 0$ .

(1)、若直线AF斜率为1，且与T的另一个交点为B，求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明： $A C ⊥ P Q$ .

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18. 平面内沿着等腰直角 $△ A B C$ 的腰AC作底角 $∠ C A D = 30 °$ 的等腰 $△ A C D$ ， $A C = 2$ ，如图1.将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C K$ ，如图2.

(1)、当平面 $K A C ⊥$ 平面ABC时，
（ⅰ）证明： $K C ⊥ A B$ ；
（ⅱ）若G是 $△ A C K$ 的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值.

(2)、求二面角 $A - C K - B$ 的余弦值的最小值.

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19. 如图1，圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A (1, 0)$ ， P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

(1)、求轨迹E的方程；

(2)、过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点 $B (2, 0)$ ，记直线BM，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、过点 $(0, 2)$ 作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点 $R (0, \sqrt{3})$ ， $S (0, - \sqrt{3})$ ，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.

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