广东省仲元中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

试卷更新日期：2025-11-17 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = {x \in Z ∣ 0 < x < 6}$ ，集合 $A = {3, 4, 5}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2. 双曲线 $16 x^{2} - 9 y^{2} = - 144$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{6}{5}$

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3. 下列函数中，图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称的是（）

A、 $y = \sin (x + \frac{π}{3})$ B、 $y = \cos (x - \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (x + \frac{π}{6})$ D、 $y = \tan (x + \frac{π}{6})$

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4. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = {(- 1)}^{n}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 前2025项和为（）

A、1013 B、-1011 C、1014 D、-1012

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5. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ， $f (2 + x) + f (4 - x) = 0$ ，当 $0 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = x^{2} + a x$ ，则 $f (8) =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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6. 在平面内，三个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = 2$ ，则 $| \vec{c} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - \frac{1 + a x}{x}$ .若存在 $x_{0} \in (- \infty, - 1)$ ，使得 $f (x_{0}) = 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{4}{3})$ B、 $(0, \frac{4}{3})$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$

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8. 已知正实数 $a, b$ 满足 $2^{a} = 8^{b} + {log}_{2} \frac{b}{a},$ 则（）

A、 $a = b$ B、 $a < 3 b$ C、 $a = 3 b$ D、 $a > 3 b$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题必要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知直线 $m, n$ ，不同的平面 $α, β$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n ⊥ β$ ，且 $m$ $∥$ $n$ ，则 $α$ $∥$ $β$ B、若 $m \subset α, n \subset β$ ，且 $m$ $∥$ $n$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $m \subset α, n$ $∥$ $β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, n \subset β$ ，且 $m$ $∥$ $n$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, P$ 为其上一动点，当 $P$ 运动到点 $(2, t)$ 时， $|P F| = 4$ ，直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，点 $Q (6, - 4)$ ，则（）

A、 $E$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、 $|P Q| + |P F|$ 的最小值为8 C、若 $|A B| = 8$ ，则 $l$ 过点 $F$ D、当直线 $l$ 过焦点 $F$ 时，以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\cos A = \sin B = \frac{1}{2 \tan C}$ ，则（）

A、 $A + B = \frac{π}{2}$ B、 $2 A + C = \frac{π}{2}$ C、 $a = c$ D、 $b = \sqrt{3} a$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = 1 + 2 i$ ，则复数 $z$ 的实部为.

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13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 $E (X) =$

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 \sqrt{2} x + 1$ ，若过点 $(0, 1)$ 的两条互相垂直的直线分别与 $f (x)$ 的图象交于另外的点 $A, C$ 和 $B, D$ ，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为．

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四、解答题：本题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\vec{m} = (cos B, cos C)$ ， $\vec{n} = (- 2 a + c, b)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若三角形为锐角三角形，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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16. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1}$ ，点 $P (b_{n}, b_{n + 1})$ 在直线 $x - y + 2 = 0$ 上， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D = A D = 1$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B D$ 夹角为 $45 °$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的体积；

(3)、点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在棱 $A B$ ， $B C$ ， $P B$ 上，当 $\frac{B G}{G P} = \frac{B F}{F C} = \frac{B E}{E A}$ 时，求直线 $A D$ 与平面 $E F G$ 所成角的正弦值.

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18. 已知椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(- 2, - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $Γ_{1}$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点， $P$ ， $Q$ 为 $Γ_{1}$ 上两个动点，且 $O P ⊥ O Q$ ，作 $O M ⊥ P Q$ ，垂足为 $M$ .
（i）线段 $O M$ 的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点 $M$ 的轨迹为 $Γ_{2}$ ，过点 $P$ 作 $Γ_{2}$ 的切线交 $Γ_{1}$ 于点 $N$ （异于 $P$ 、 $Q$ ），求 $△ P Q N$ 面积的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} + b}{x} (x > 0, a > 1)$ 存在极值点 $x_{0}$ ．

(1)、当 $b = 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求b的取值范围并证明 $f (x) \geq f (x_{0})$ ；

(3)、若 $\frac{a}{b} = e$ 且 $f (x) \geq \frac{1}{x_{0} - 1}$ ，求a的取值范围．

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