2025-2026学年冀教版数学八年级上册期末检测卷（三）

试卷更新日期：2025-12-05 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）

A、两点之间，线段最短 B、垂线段最短 C、两直线平行，内错角相等 D、三角形具有稳定性

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3. 如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（）

A、 $S A S$ B、 $A S A$ C、 $A A S$ D、 $S S S$

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4. 如图是嘉琪同学在作业中计算 $a - \frac{4}{2 - a} - 2$ 的过程，作业是从第几步开始出现错误（）
嘉琪的作业
$a - \frac{4}{2 - a} - 2$
$= a - 2 - \frac{4}{2 - a}$ ……第一步
$= (a - 2) (2 - a) - 4$ ……第二步
$= 4 - a^{2} - 4$ ……第三步
$= - a^{2}$ ……第四步

A、第一步 B、第二步 C、第三步 D、第四步

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5. 下列命题 $①$ 内错角相等，两直线平行； $②$ 若 $a = b$ ，则 $a^{2} = b^{2}$ ； $③$ 末位数字是 $5$ 的数，能被 $5$ 整除； $④$ 对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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6. 下面是马小虎的答卷，他的得分应是（）
判断题（每小题 $20$ 分，共 $100$ 分）
（1）代数式 $\frac{6}{π}$ ， $\frac{m + n}{m - n}$ 是分式．（✔）
（2）当 $x = - 1$ 时，分式 $\frac{x}{x + 1}$ 无意义．（✔）
（3） $\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}$ 不是最简分式．（✗）
（4）若分式 $\frac{|x| - 2}{x + 2}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为 $\pm 2$ ．（✔）
（5）分式 $\frac{y^{2}}{x + y}$ 中 $x$ ， $y$ 的值均扩大为原来的 $2$ 倍，分式的值保持不变．（✗）

A、 $40$ 分 B、 $60$ 分 C、 $80$ 分 D、 $100$ 分

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7. 将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“ $0 cm$ ”和“ $3 cm$ ” 刻度线分别对应数轴上的 $- 3$ 和0，那么数轴上x的值可以是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4$ ，则 $\frac{a - 2 a b - b}{2 a - 2 b + 7 a b} =$ （）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $- \frac{2}{7}$ C、 $- 6$ D、 $6$

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9. 甲、乙两个工程队，甲队修路 $600 m$ 与乙队修路 $800 m$ 所用的时间相等，乙队每天比甲队多修 $20 m$ ．若可列方程 $\frac{600}{x} = \frac{800}{x + 20}$ 表示题中的等量关系，则方程中x表示（）

A、甲队每天修路的长度 B、乙队每天修路的长度 C、甲队修路 $600 m$ 所用的天数 D、乙队修路 $800 m$ 所用的天数

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10. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点 $B$ 到点 $C$ 的方向平移到 $△ D E F$ 的位置， $A B = 10$ ， $D H = 3$ ，平移距离为 $5$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{125}{3}$ B、 $50$ C、 $\frac{85}{2}$ D、 $75$

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11. 当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、…、 $\frac{1}{2013}$ 、 $\frac{1}{2014}$ 、 $\frac{1}{2015}$ 时，计算分式 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（）

A、﹣1 B、1 C、0 D、2015

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12. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①④

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二、填空题（每题3分，共12分）

13. 命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是

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14. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为度．

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15. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x - 2} + \frac{3}{2 - x} = 1$ 有增根，则 $m$ 的值为．

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16. 如图，已知 $△ A B C$ 为等边三角形，边长为 $\sqrt{13}$ ，点 $D ， E$ 分别是过 $A B ， B C$ 上的动点，点 $D$ 从点 $A$ 开始沿射线 $A B$ 方向运动，同时点 $E$ 从点 $B$ 开始沿射线 $B C$ 方向运动，点 $D$ 运动速度始终是点 $E$ 运动速度的 $2$ 倍，以 $D E$ 为边向右侧作等边三角形 $D E F$ ．点 $G$ 是 $B C$ 边的中点，连接 $G F$ ，则 $G F$ 的最小值为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 解方程：

(1)、 $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ ；

(2)、 $\frac{x + 1}{x - 1} - 1 = \frac{4}{x^{2} - 1}$ ．

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18. 如图， AE ⊥ BD， CF ⊥ BD，垂足分别为E， F， BF=DE， AE=CF.求证：△ABE≌△CDF

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19. 已知x＝ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}, y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ；
（1）求x²+y²﹣xy的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）²+ $\sqrt{{(a - b)}^{2}}$ 的值．

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20. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行 $15 m$ 处有一棵树C，继续前行 $15 m$ 到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得 $D E$ 的长为 $10 m$ ．
根据测量数据求河的宽度．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C < A C$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高线， $C E$ 是斜边 $A B$ 上的中线．

(1)、若 $B D = E D$ ，求证： $∠ A = 30 °$ ．

(2)、若 $A D = 4 B D = 8$ ，求 $C D$ 的长．

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22. 阅读下列材料，并回答问题
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1} = \sqrt{2} - 1$ ；
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{{(\sqrt{4})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ；
…

(1)、填空： $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} =$ ；

(2)、观察上述算式规律，请直接写出算式 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ （n是正整数）的结果；

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$ （提示： $4 5^{2} = 2025$ ）．

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23. 某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的 $\frac{5}{4}$ 倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
水果店
销售方式
质量
单价
甲
不分类
400千克
25元／千克
乙
小果

免费
中果
240千克

大果

(1)、乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？

(2)、求乙店小果的质量；

(3)、若甲店先以 $a$ 元／千克的批发价售卖 $b$ 千克的葡萄，再以 $(a + 1)$ 元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若 $a, b$ 均为正整数，求 $a, b$ 的值．

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24. 如图1是第七届国际数学教育大会会徽，它可以近似地看成由一组具有公共顶点的“螺旋式直角三角形”演化而来。数学兴趣小组对图形的生成过程很感兴趣，尝试研究其蕴藏的秘密。如图2所示，他们选取四个直角三角形做进一步的探究，其中AB=BC=CD=DE=EF，

(1)、若 $B C = 1$ ，则 $A C =$ ， $A F =$ ；

(2)、数学小组准备绘制具有公共顶点的两个＂螺旋式直角三角形＂，如图3所示，Rt $△ G M N$ 中， $∠ M = 9 0^{°}, G M = M N = 2 \sqrt{2}$ ，射线 $N P ⊥ G N$ 于点 $N$ ，请在射线NP上作点 $K$ ，连接GK，使得 $G K = 2 \sqrt{5}$ 。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(3)、数学小组在（2）的条件下继续进行探究，将Rt $△ G M N$ 绕点 $N$ 按逆时针方向旋转 $α (0^{°} < α < 36 0^{°})$ 得到Rt $△ G^{^{'}} M^{^{'}} N$ （如图4），连接 $K M^{^{'}}$ ，若 $△ K M^{^{'}} N$ 的面积为2，求 $α$ 的度数。

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水果店	销售方式	质量	单价
甲	不分类	400千克	25元／千克
乙	小果		免费
	中果	240千克
	大果