浙江省宁波市三锋联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-11-18 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 < 0$

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2. 已知集合 $S = \{x \in Z ||x| \leq 2\}$ ， $T = \{y |y \geq - 2\}$ ，则下列正确的是（）

A、 $\frac{1}{2} \in S$ B、 $S \cap T = S$ C、 $\{- 1\} \in T$ D、 $S \cup T = S$

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3. 已知a，b为正实数，则 $\sqrt{\frac{a^{3} \times b^{- 2}}{a^{- 1} \times b^{4}}}$ 可化简为（）

A、 $\frac{b^{3}}{a^{2}}$ B、 $\frac{a^{2}}{b^{3}}$ C、 $a^{2} b^{3}$ D、 $\frac{1}{a^{2} b^{3}}$

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4. 已知命题 $p$ ： $a > b > c > 0$ ，命题 $q$ ： $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 3}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 1)$ ， $(1, 2)$ C、 $(- \infty, 1)$ ， $(2, 3)$ D、 $(2, 3)$ ， $(3, + \infty)$

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6. 已知实数 $x > 0$ ， $y > 0$ ，满足 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$ ，则 $x + \frac{y}{2}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} m x + 2, x \leq 1 \\ 3^{x}, x > 1 \end{matrix}$ ，若存在实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $R$ D、 $(- \infty, 0] \cup (1, + \infty)$

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g (x) = (2 x - 1) f (x)$ ， $h (x) = f (x) + 3 x$ .若 $g (x)$ 为奇函数， $h (x)$ 为偶函数，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、1

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > 1$ ，则 $a^{\frac{1}{2}} > a^{\frac{1}{3}} > {(\frac{1}{3})}^{a}$ B、 $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ 和 $g (m) = {(m + 3)}^{2}$ 表示的是同一个函数 C、函数 $f (x) = \frac{1}{x} + 2$ 的单调递减区间是 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ D、已知不等式 $3 x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{4}\}$ ，则 $b = \frac{3}{4}$ ， $c = - \frac{3}{8}$

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10. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x - 2|} + 2$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 图象有对称轴 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 有最大值3 D、 $f (x)$ 有最小值2

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11. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0, 2]$ 时 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $f (5.5) = - \frac{3}{4}$ B、 $f (2025) = 1$ C、对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x + 4) = - f (x)$ D、若方程 $f (x) = k$ 在区间 $[4, 9]$ 上有且仅有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 $(- 1, 0]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 1, x \leq 3 \\ 2^{- x}, x > 3 \end{matrix}$ ，则 $f (f (2)) =$ .

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13. 已知 $f (x) = |x| \cdot x$ 满足 $f (k x^{2} + 1) \geq f (k x)$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是.

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14. 若 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + \frac{6}{x} + y + \frac{6}{y} = 10$ ，则 $\frac{2}{y} - \frac{3}{x}$ 的最大值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m + 1) x^{1 - \frac{1}{4} m}$ 在第一象限的大致图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式，并写出其值域；

(2)、若 $f (a) + f (\frac{1}{a}) = 6$ （ $a > 0$ ），求 $f (a^{2}) + f (\frac{1}{a^{2}})$ 的值.

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16. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 a x - 3 a^{2} \leq 0$ 且 $a > 0}$ ，集合 $B = \{x |\frac{x - 3}{x - 1} > 0\}$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $N$ 为自然数集，写出 $A \cap N$ 的所有子集；

(2)、若“ $x \in ∁_{R} B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x}$ ， $x \in [1, 2]$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的单调性并用定义加以证明；

(2)、设 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 t f (x) + 2$ ， $x \in [1, 2]$ ，是否存在实数t使 $g (x)$ 的最小值为0.若存在，求出t的值.若不存在，请说明理由.

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $f (x) = \frac{1}{4^{x}} + \frac{k}{9^{x}}$ .

(1)、求k的值，并写出当 $x \in (0, + \infty)$ 时 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x > 0$ 时，求不等式 $f (x) > 2^{2 x - 1}$ 的解集；

(3)、若不等式 $f (x) \leq \frac{m}{4^{x}} - \frac{1}{9^{x - 1}} + \frac{9^{x}}{16^{x}}$ 对任意 $x \in [- 1, - \frac{1}{2}]$ 都成立，求m的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = |x - a| + \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ （其中a为实数），定义域为D.

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域D；

(2)、若对任意 $x \in D$ ，不等式 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若存在 $x \in D$ ，使得方程 $f (x) = a$ 有解，求实数a的取值范围.

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