浙江省G5联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-11-15 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 点 $P (1, - 2, 3)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点的坐标为（）

A、 $(- 1, - 2, 3)$ B、 $(1, 2, 3)$ C、 $(1, - 2, - 3)$ D、 $(- 1, 2, 3)$

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2. 已知直线的方向向量为 $（ \sqrt{3}, - 1 ）$ ，则直线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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3. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (- 1, 3, 2)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x, - 1, 2)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、 $- 1$

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4. 已知 $m, n$ 为两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n$ $∥$ $β, α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $n$ B、若 $m ⊥ α, n$ $∥$ $β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m$ $∥$ $α, n$ $∥$ $β, m$ $∥$ $n$ 则 $α$ $∥$ $β$ D、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, m ⊥ n$ 则 $α ⊥ β$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，若 $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{2} A} = 0$ ，且 $|A F_{2}| = 3 |B F_{2}| = 3$ ，则椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{2 y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{4 x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{18} = 1$

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6. 若直线 $l : k x - y - 2 = 0$ 与曲线 $C : x = \sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} + 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3}, 4)$ B、 $(\frac{4}{3}, 2]$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$

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7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x, P$ 为 $C$ 上的动点， $Q$ 为圆 $M : {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $l : x = - 1$ 的距离与 $|P Q|$ 之和的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 2$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支相交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $F M$ 的中垂线与 $x$ 轴交于点 $P (4, 0)$ ，则 $M$ 的横坐标为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 已知直线 $l : x + y - 3 = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，下列判断正确的是（）

A、直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为3 B、圆心 $C$ 的坐标为 $(1, 0)$ C、直线 $l$ 与圆相交 D、圆 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离最大为 $\sqrt{2} + 1$

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10. 若方程 $\frac{x^{2}}{8 - m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示双曲线，则该双曲线（）

A、满足 $m > 8$ 或 $m < 4$ B、焦距为 $4$ C、渐近线斜率可以是 $2$ D、不可能是等轴双曲线

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11. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $B D = 2 \sqrt{3}, A D = 3, C D = 4, ∠ A = ∠ C B D = 90^{\circ}$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折起，使点 $C$ 到达点 $C_{1}$ 的位置，下面正确的是（）

A、 $P$ 为线段 $B D$ 上的动点，则 $P A + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{13}$ B、异面直线 $B C_{1}$ 与 $A D$ 所成角的余弦值取值范围是 $[0, \frac{1}{2})$ C、若平面 $C_{1} B D ⊥$ 平面 $A B D, M$ 在三角形 $C_{1} A D$ 内部， $B M = \frac{\sqrt{133}}{7}$ ，则 $M$ 轨迹长度为 $2 π$ D、当三棱锥 $C_{1} - A B D$ 的体积最大时，三棱锥 $C_{1} - A B D$ 的外接球的表面积为 $16 π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 直线 $l_{1} : 2 x - (a + 1) y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : a x - y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ ．

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13. 在空间直角坐标系中，若平面 $α$ 经过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a, b, c)$ 为法向量，可得平面的点法式方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .若已知平面 $α$ 的点法式方程为 $- 2 (x - 2) + y + 2 (z - 3) = 0$ ，则点 $P (3, 2, 6)$ 到平面 $α$ 的距离为.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 以 $F_{2}$ 为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点 $A$ ，记 $λ = \frac{sin ∠ A F_{2} F_{1}}{sin ∠ F_{1} A F_{2}}$ ，若 $λ > \frac{7}{4}$ ，则椭圆的离心率取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上，且点 $A (1, 5), B (4, 2)$ 在圆 $M$ 上.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若斜率为2的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $D, E$ 两点，且 $|D E| = 4$ ，求直线 $l$ 的方程.

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16. 如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中 $∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 120^{\circ}$ ， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $A B = A D = 2, A A^{'} = 4$ ，点 $M$ 为 $D D^{'}$ 的中点.

(1)、求 $B M$ 的长；

(2)、已知 $E$ 为 $C C^{'}$ 上的动点，若 $A E ⊥ B M$ ，求 $C E$ 的长.

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17. 点 $M$ 是圆 $F_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 36$ 上的动点， $F_{2}$ 是点 $F_{1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，线段 $M F_{2}$ 的中垂线交线段 $M F_{1}$ 于点 $P$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .过 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于 $G, H$ 两点，设直线 $F_{2} G, F_{2} H$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $R, Q$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $R Q$ 过定点.

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18. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ，且 $A B C D$ 与 $C D D_{1} C_{1}$ 是两个全等的等腰梯形，满足 $C D = 2 A B = 4, B C = \sqrt{5}$ .点 $E$ 在 $B_{1} C_{1}$ 上，满足 $B_{1} C_{1} = 3 B_{1} E$ ，连接 $A_{1} C_{1}, D_{1} E$ 交于点 $F$ ，点 $G$ 为 $A C_{1}$ 的中点，连接 $F G$ .

(1)、证明： $F G / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、求 $F G$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $A C_{1}$ 上（不含端点）是否存在一点 $P$ ，使得平面 $D P D_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ？若存在，求出 $A P$ 的长；若不存在，请说明理由.

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19. 已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的一点 $C (\frac{1}{2}, y_{0}) (y_{0} < 0)$ 到焦点 $F$ 的距离为1，直线 $l$ 交 $Γ$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点，已知 $O A ⊥ O B$ ：
（i）作 $O D ⊥ A B$ 垂足为 $D$ ，则是否存在定点 $Q$ ，使 $|D Q|$ 为定值？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）若 $Γ$ 在 $C$ 处的切线 $g$ 恰好平分直线 $A C$ 与 $B C$ 的夹角，求 $l$ 的方程.

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