广东省广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-18 类型：期中考试

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一、选择题（共8小题）

1. 设集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $A = {2, 3, 4}$ ， $B = {1, 3, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B$ ＝（）

A、{1，6} B、{3，6} C、{1，3，5，6} D、 $\emptyset$

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2. $a$ 、 $b$ 均为实数，则 $a < b < 0$ 是 $a^{2} > b^{2}$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 给出下列命题，其中为真命题的是（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} + 2 < 0$ B、对任意 $x \in N$ ，都有 $x^{2} \geq 1$ C、存在 $x_{0} \in Q$ ，使得 $x_{0}^{2} = 3$ D、存在 $x_{0} \in Z$ ，使 $x_{0}^{5} < 0$

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4. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列式子中一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、 $\frac{b}{a} < 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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5. 已知 $x > 0$ ，则 $\sqrt{2 x (4 - 2 x)}$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 已知 $3^{a} = 2$ ， $9^{b} = 36$ ，则 $a - b =$ （）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $- \frac{1}{18}$ C、1 D、 $- 1$

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7. 函数 $f (x)$ 满足若 $f (g (x)) = 9 x + 3 ， g (x) = 3 x + 1$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $f (x) = 3 x$ B、 $f (x) = 3$ C、 $f (x) = 27 x + 10$ D、 $f (x) = 27 x + 12$

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8. 若函数 $y = x - \frac{a}{x} + \frac{a}{2}$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $[1, + \infty)$

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二、多选题（共3小题）

9. 下列幂函数中，既是奇函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{- \frac{1}{3}}$ B、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ C、 $y = x^{\frac{3}{2}}$ D、 $y = x^{\frac{5}{3}}$

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10. 下列不等式，其中正确的有（）

A、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ ( $a > 0$ ，且 $b > 0$ ) B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 (a - b - 1)$ D、 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$

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11. 设正数x，y，z满足 $x^{2} = 2^{a} ， y^{3} = 3^{a} ， z^{5} = 5^{a}$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $15 x^{2} < 10 y^{3} < 6 z^{5}$ B、 $10 y^{3} < 15 x^{2} < 6 z^{5}$ C、 $15 x^{2} = 10 y^{3} = 6 z^{5}$ D、 $6 z^{5} < 10 y^{3} < 15 x^{2}$

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三、填空题（共3小题）

12. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ，则 $f (x)$ 的值域为.

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13. 已知集合 $A = \{x |\sqrt{x - 2025} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 2 x + a = 0\}$ ，则 $A \cup B$ 中所有元素的和的可能值组成的集合为.

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14. 不等式 $\frac{1}{x} \geq x$ 的解集是．

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四、解答题（共5小题）

15. 已知集合 $A = \{2, 4, 2 a^{2}\}, B = {2, a + 3}$ .

(1)、若 $a = 0$ ，全集 $U = {x \in N ∣ x \leq 4}$ ，求 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的值.

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16. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ．

(1)、判断函数的奇偶性，并加以证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

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17. 近几年 $3 D$ 打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产 $x$ （千件）手办，需另投入成本 $C (x)$ （万元），且 $C (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, 0 < x < 6 \\ 10 x + \frac{100}{x} - 40, x \geq 6 \end{array}$ 由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.

(1)、求出2024年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的表达式；

(2)、2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？

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18. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(1, 13)$ ，且 $f (x - \frac{1}{2}) = f (- x - \frac{1}{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $t < 2, g (x) = [f (x) - x^{2} - 13]$ . $|x|$ ，求函数 $g (x)$ 在 $[t, 2]$ 上的最小值（直接写出答案）；

(3)、若 $h (x) = [f (x) - x^{2} - 11] \cdot |x - a|, a \in R$ ，若函数 $h (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上是单调函数，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，经研究可将其推广为：函数 $y = f (x)$ 图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，求 $f (0) + f (1) + f (2)$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{n}{3^{x - 1} + m} (m > 0)$ 的图象关于点 $P (1, - \frac{1}{2})$ 中心对称.
（ⅰ）求实数 $m$ 、 $n$ 的值；
（ⅱ）设函数 $g (x) = \frac{3^{x - k} + n}{3^{x - k} + m} + x^{3} - 3 k x^{2} + 3 k^{2} x - k^{3} + c$ ，其中 $c > 0$ ，若正数 $a$ 、 $b$ 满足 $g (\frac{2 k}{2025}) + g (\frac{4 k}{2025}) + g (\frac{6 k}{2025}) + \cdot \cdot \cdot + g (\frac{4048 k}{2025}) \leq 2024 (a + 2 b)$ ，且不等式 $λ (2 b + c) a \leq 2 b^{2} + b c + a^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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