甘肃省兰州外国语高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-21 类型：期中考试

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一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = \{1, 4, a^{2}\}$ ， $B = {4, 2 a}$ ， $A \cap B = B$ 则实数 $a$ 的取值集合为（）

A、 $\{\frac{1}{2}\}$ B、 $\{0, \frac{1}{2}\}$ C、 ${0, 2}$ D、 $\{0, \frac{1}{2}, 2\}$

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2. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、4 C、3 D、2

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3. 已知条件 $p : - 3 < x < 0$ ，条件 $q : - 4 < x < 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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4. 若函数 $f (x) = x^{2} + (a - 1) x + a$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上是增函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 3)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $[- 3, + \infty)$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + x - 12} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, - 4]\cup[3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4] \cup (3, + \infty)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $[- 4, 3]$

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6. 设 $A$ 、 $B$ 是非空集合，定义 $A \times B = \{x | x \in A \cup B$ 且 $x \notin A \cap B\}$ ，若 $A = \{x |2 x - x^{2} \geq 0\}$ ， $B = \{x |x > 1\}$ ，则 $A \times B$ 等于

A、 $[0, 1] \cup (2, + \infty)$ B、 $[0, 1] \cup [2, + \infty)$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, 2]$

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7. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知定义在 $[1 - m, 2 m - 3]$ 上的偶函数 $f (x)$ ，且当 $x \in [0, 2 m - 3]$ 时， $f (x)$ 单调递减，则关于 $x$ 的不等式 $f (x - 2) > f (3 x - 2 m)$ 的解集是（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(- \infty, 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{3}{2}, \frac{5}{3}]$ D、 $(\frac{2}{3}, 2]$

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二、多选题（每小题6分，共18分）

9. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0, 3)$ 上是递减的函数是（）

A、 $y = - x^{2} + 1$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = - | x | + 1$ D、 $y = \sqrt{x}$

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10. 下列各项中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（　　）

A、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2} ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} ， g (x) = \sqrt{2 + x} \cdot \sqrt{2 - x}$ C、 $f (x) = x^{2} ， g (t) = t^{2}$ D、 $f (x) = |x - 1| ， g (x) = \{\begin{array}{l} x - 1 ， & x \geq 1 \\ 1 - x ， & x < 1 \end{array}$

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 $\{x | x \leq - 3$ 或 $x \geq 4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < - 4\}$ C、不等式 $c x^{2} - b x + a \leq 0$ 的解集为 $\{x | x \leq - \frac{1}{4}$ 或 $x \geq \frac{1}{3}}$ D、 $a + b + c > 0$

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三、填空题（每小题5分，共15分）

12. $\sqrt[6]{64} + 27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{100})}^{0} + {(\frac{9}{16})}^{\frac{1}{2}} =$ .

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13. 已知命题“ $\forall 1 \leq x \leq 3$ ， $x^{2} - 1 - a \geq 0$ ”为真命题，则 $a$ 的最大值为．

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 a + 3) x - 2 a + 2, x < 1 \\ x^{2} - a x + 3, x \geq 1 \end{array}$ ，满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为

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四、解答题（共70分）

15. 已知集合 $A = \{x |- 3 < x < 5\}$ ， $B = \{x |2 a + 1 < x \leq 2 a + 7\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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16. 解下列不等式：

(1)、 $2 x^{2} + x - 3 > 0$

(2)、 $- 4 x^{2} + 4 x - 1 \geq 0$

(3)、 $\frac{4 - x}{2 x + 3} \geq 1$ ；

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17. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的偶函数，且 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断并证明函数在区间 $[0, 1]$ 上的单调性．

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18. 已知函数 $f (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 3$

(1)、求 $f (2)$ 的值及函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求关于x的不等式 $f (x) - 2 a x > a + 1 - x$ 解集.（其中 $a \in R$ ）

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19. 若定义在R上的函数 $f (x)$ 对任意实数x，y恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，且 $f (- 1) = 2$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最小值；

(3)、若 $m \in [0, 1]$ 不等式： $f (3 m^{2}) > f (a m + 2) - 4$ 恒成立，求a的取值范围；

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