北师大版数学九年级上册期末检测卷（3）[范围：九上全册]

试卷更新日期：2025-12-02 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 如图，直线l₁∥l₂∥l₃ ，直线AB，DE分别交l₁ ， l₂ ， l₃于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC=2：5，EF=15，则DF的长等于（）

A、18 B、20 C、25 D、30

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2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 9 = 0$ 时，原方程可变形为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 13$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 10$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 13$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 10$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ，将 $△ A B C$ 绕着点 $B$ 逆时针旋转得到 $△ E B D$ ．若点 $C$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $A C$ 上，且 $△ A B C ∽ △ B D C$ ，则 $∠ E B D =$ （）

A、 $70 °$ B、 $72 °$ C、 $66 °$ D、 $75 °$

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4. 某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则列出下列方程正确的是（　　）

A、（1+x）²=140 B、40（1+x）²=140 C、40+40（1+x）+40（1+x）²=140 D、40+40（1+x）=140

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5. 如图，在菱形ABCD中，E为AD上一点，F为CB延长线上一点，EF⊥AC于点P，交AB于G，若 $A E = \frac{1}{3} A D,$ 则 $\frac{A G}{F C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D ， E ， F$ 分别在边 $B C ， A B ， C A$ 上，且 $D E ∥ C A ， D F ∥ B A$ ．下列四种说法：
①四边形 $A E D F$ 是平行四边形；
②如果 $∠ B A C = 90 °$ ，那么四边形 $A E D F$ 是矩形；
③如果 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，那么四边形 $A E D F$ 是菱形；
④如果 $A D ⊥ B C$ ，且 $A B = A C$ ，那么四边形 $A E D F$ 是正方形．
其中，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，在矩形纸片ABCD中， $A D = 10$ ， $A B = 8$ ，将AB沿AE翻折，使点B落在 $B^{'}$ 处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段 $E B^{'}$ 上的点 $C^{'}$ 处，EF为折痕，连接 $A C^{'}$ ．若 $C F = 3$ ，则 $\frac{B^{'} C^{'}}{A B^{'}}$ 的值为( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

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8. 如图所示，正方形 $A B C D$ 与 $A E F G$ （其中边 $B C$ ， $E F$ 分别在 $x$ ， $y$ 轴的正半轴上）的公共顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，直线 $D G$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别相交于点 $M$ ， $N$ ．若这两个正方形的面积之和是 $\frac{15}{2}$ ，且 $M D = 4 G N$ ．则 $k$ 的值是（）

A、5 B、1 C、3 D、2

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二、填空题（每题3分，共15分）

9. 若关于x的方程（m-4）x^|^m^-2|+2x-5=0是一元二次方程，则m= .

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10. 如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，若AB=2，则CF的长度为.

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11. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于点A，点B在x轴的负半轴上，连接 $A B$ ．若 $O A = O B$ ， $△ A B O$ 的面积为6，则k的值为．

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12. 欧几里得的《几何原本》中记载，形如 $x^{2} + a x = b^{2} (a > 0, b > 0)$ 的方程的图解法如下：如图，以 $\frac{a}{2}$ 和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取 $B D = \frac{a}{2}$ ，则AD的长就是所求方程的正根. 若利用以上方法解关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x = 36$ 时，如果构造后的图形满足AD = 2BD，则m的值为.

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13. 在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为.

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三、解答题（共7题，共61分）

14. 先化简，再求值： $(\frac{a^{2}}{a - 2} - \frac{4}{a - 2}) \times \frac{1}{a^{2} + 2 a}$ ，其中a满足方程 $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ ．

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15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + 2 m - 2 = 0$ （ $m$ 为常数）．

(1)、若方程的一个根为1，求 $m$ 的值及方程的另一个根；

(2)、求证：不论 $m$ 为何值时，方程总有两个实数根．

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16. 2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个．

(1)、求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率．

(2)、若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？

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17. 2024年12月1日在“跃动南马，壮行天下”的口号下第十六届南宁马拉松比赛正式开跑，这场赛事展示了南宁的城市魅力和文化底蕴．为此学校举办了一次南宁历史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）： $A : 50 \leq x < 60, B : 60 \leq x < 70, C : 70 \leq x < 80, D : 80 \leq x < 90, E : 90 \leq x < 100$ ，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次竞赛抽取学生的人数为__________，并将条形统计图补充完整．

(2)、若“ $90 \leq x < 100$ ”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是__________，中位数是__________．

(3)、经过初赛，进入决赛的同学有1名女生和2名男生，现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．

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18. 【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线。

(1)、【应用】
如图1，△ABC中，AC=3，AB=4，BC=2，D是AB上一点，BD=1，求证：CD是△ABC的完美分割线；

(2)、如图2，菱形ABCD中，AB=4，点E是边CD的中点，点F是边BC上一点，连接AF交线段BE于G，若BG是△ABF的完美分割线，且AB=AG，求FG的长；

(3)、如图3，矩形ABCD中，点O是DB的中点，E为射线DA上的动点，连接EO并延长交射线BC于F，G是射线OB上一点，∠GFO=∠DFO，若GO是△EGF的完美分割线，请直接写出 $\frac{O G}{O D}$ 的值。

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19. 请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 $a x_{}^{2} + b x + c = 0, (a \neq 0, b_{}^{2} - 4 a c \geq 0)$ 的两根 $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ 有如下的关系： $x_{1}^{} + x_{2}^{} = - \frac{b}{a}, x_{1}^{} x_{2}^{} = \frac{c}{a}$ ；
材料2：如果实数m、n满足 $m_{}^{2} - m - 1 = 0$ 、 $n_{}^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则可利用根的定义构造一元二次方程 $x_{}^{2} - x - 1 = 0$ ，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m、n满足 $(m + 1)_{}^{2} + 4 (m + 1) + 2 = 0$ 、 $(\frac{n}{k})_{}^{2} + 4 (\frac{n}{k}) + 2 = 0$ ，且 $m + 1 \neq \frac{n}{k}$ ，则可利用根的定义构造一元二次方程 $x_{}^{2} + 4 x + 2 = 0$ ，将 $m + 1$ 、 $\frac{n}{k}$ 看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数m、n满足 $m + n = - \frac{b}{a}$ 、 $m n = \frac{c}{a}$ ，则可利用韦达定理构造一元二次方程 $a x_{}^{2} + b x + c = 0$ ，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根。
请根据上述材料解决下面问题：

(1)、已知实数m、n满足 $m^{2} + 4 m - 2 = 0$ 、 $n^{2} + 4 n - 2 = 0$ ，求 $m_{}^{2} + n_{}^{2}$ 的值．

(2)、已知实数p、q满足 $p_{}^{2} - 3 p - 2 = 0$ 、 $1 - 3 q - 2 q_{}^{2} = 0$ ，且 $p q \neq 1$ ，求 $p + \frac{1}{q} + \frac{p}{q}$ 的值．

(3)、已知实数a、b、c满足 $a + b + \frac{2 c}{c - 1} = 0$ 、 $a b + \frac{2 + c}{1 - c} = 0$ ，求c的最大值．

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