人教版八（上）第十八章分式单元测试培优卷

试卷更新日期：2025-12-02 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 代数式 $\frac{1}{y} ， \frac{3}{4} ， \frac{x + 1}{2} ， \frac{a + b}{π} ， c + \frac{4}{n}$ 中，分式的个数是（）

A、2个　　 B、3个　　 C、4个　　 D、5个

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2. 分式 $\frac{2 x^{2}}{3 x - 2 y}$ 中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值（）

A、变为原来的 $\frac{1}{3}$ B、变为原来的3倍 C、变为原来的9倍 D、不变

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3. 计算 $\frac{x - 2}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{(2 - x)^{2}}$ 的结果是（　　）

A、 $\frac{1}{x - 2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2 - x}$ D、x

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4. 如果代数式 $a + b = 4$ ， $a b = 2$ ，那么 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值等于（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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5. 已知关于x的分式方程 $\frac{1 - m}{x - 1} - 1 = \frac{2}{1 - x}$ 的解是正数，则m的取值范围是（）

A、m＜4且m≠3 B、m＜4 C、m≤4且m≠3 D、m＞5且m≠6

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6. 将分式方程 $\frac{2}{x - 1} - 1 = \frac{3 x}{1 - x}$ 去分母，两边同时乘 $(x - 1)$ 后的式子为（）

A、 $2 - 1 = 3 x$ B、 $2 - (x - 1) = - 3 x$ C、 $2 - (x - 1) = 3 x$ D、 $2 - x + 1 = 3 x$

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7. 小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程（　　）

A、 $\frac{24}{x + 2} - \frac{20}{x}$ =1 B、 $\frac{20}{x} - \frac{24}{x + 2}$ =1 C、 $\frac{24}{x} - \frac{20}{x + 2}$ =1 D、 $\frac{20}{x + 2} - \frac{24}{x}$ =1

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8. 劳动课上，八（1）班同学分成两组练习包饺子，女生组包300个饺子与男生组包200个所用的时间相同，已知女生组每分钟比男生组多包30个，若设女生组每分钟包 $x$ 个，则可列方程为（）

A、 $\frac{300}{x} = \frac{200}{x - 30}$ B、 $\frac{300}{x} = \frac{200}{x + 30}$ C、 $\frac{300}{x - 30} = \frac{200}{x}$ D、 $\frac{300}{x + 30} = \frac{200}{x}$

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9. 若 $a b c = 1$ ， $a + b + c = 2$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ ，则 $\frac{1}{a b + c - 1} + \frac{1}{b c + a - 1} + \frac{1}{c a + b - 1}$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

10. 计算： $\frac{4 a^{2} b^{2}}{15 m^{3}} \div \frac{- 8 a b^{2}}{35 m^{2}} =$ ．

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11. 化简： $\frac{5 x + 3 y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} =$ ．

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12. 《哪吒之魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.已知某A款哪吒玩偶的进货单价比B 款哪吒玩偶少5元，花500元购进A 款哪吒玩偶的数量与花750 元购进 B 款哪吒玩偶的数量相同.则A 款玩偶的单价为元.

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13. 对于两个非零的实数 $a ， b$ ，定义运算※如下： $a ※ b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} ．$ 例如： $3 ※ 4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12} ．$ 若 $x ※ y = 4$ ，则 $\frac{y - x}{2 x y}$ 的值为．

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14. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \leq 4 \\ 2 x - a \geq 2 \end{array}$ ，至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

15. 解下列方程

(1)、 $\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{2 x - 1}$ ：

(2)、 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$

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16. 先化简 $(1 + \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{2 x - 2}$ ，在从 $- 2$ ， $1$ ， $0$ ， $2$ 选取一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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17. 阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算 $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3}$ 解答过程如下：
解： $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3}$
$= \frac{6}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{1}{a + 3}$ ①
$= \frac{6}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{a - 3}{(a + 3) (a - 3)}$ ②
$= 6 + a - 3$ ③
$= a + 3$ ④
问题：（1）上述计算过程中，从步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：

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18. 在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的 $1.5$ 倍，若甲、乙两个工程队合作 $15$ 天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要 $5$ 天．

(1)、甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天?

(2)、经过预算，甲工程队每天的施工费用是 $7000$ 元，乙工程队每天的施工费用是 $4000$ 元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少?

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19. 某次考试中有这样一道题“先化简，再求值： $\frac{2 - x}{x - 3} + 1$ ， $x =$ ，其中x的值被污染了．小明的解题过程如下：
解：原式 $= \frac{2 - x}{x - 3} \cdot (x - 3) + (x - 3) = 2 - x + x - 3 = - 1$ ．

(1)、小乐说：“小明，你的化简过程是错误的！”请你帮小明写出正确的化简过程．

(2)、老师说：“小明得出的 $- 1$ 恰好是这道试题求值的结果！”请求出被污染的x的值．

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20. 阅读下列材料，并解答总题：
材料：将分式 $\frac{x^{2} - x + 3}{x + 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设 $x^{2} - x + 3 = (x + 1) (x + a) + b$
则 $x^{2} - x + 3 = (x + 1) (x + a) + b = x^{2} + a x + x + a + b$
= $x^{2} + (a + 1) x + a + b$
∵对于任意 $x$ 上述等式成立
∴ ${\begin{array}{l} a + 1 = - 1 \\ a + b = 3 \end{array}$ ，
解得 ${\begin{array}{l} a = - 2 \\ b = 5 \end{array}$ ，
∴ $\frac{x^{2} - x + 3}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x - 2) + 5}{x + 1} = x - 2 + \frac{5}{x + 1}$
这样，分式 $\frac{x^{2} - x + 3}{x + 1}$ 就拆分成一个整式 $(x - 2)$ 与一个分式 $\frac{5}{x + 1}$ 的和的形式．

(1)、将分式 $\frac{x^{2} + 6 x - 3}{x - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为；

(2)、已知整数 $x$ 使分式 $\frac{2 x^{2} + 5 x - 20}{x - 3}$ 的值为整数，则满足条件的整数 $x$ = ．

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21. 数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论 $.$ 现有 $a$ 克糖水，其中含有 $b$ 克糖 $(a > b > 0)$ ，则糖水的浓度 $($ 即糖的质量与糖水的质量比 $)$ 为 $\frac{b}{a}$ ．

(1)、糖水实验一：加入 $m$ 克水，则糖水的浓度为 $.$ 生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式，我们趣称为“糖水不等式”．

(2)、糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入 $m$ 克水”改为“加入 $m$ 克糖”，则糖水的浓度为 $.$ 根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式” ．

(3)、请结合 $(2)$ 探究得到的结论尝试证明：
设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为 $△ A B C$ 三边的长，求证： $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} < 2$ ．

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人教版八（上）第十八章 分式 单元测试培优卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

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