人教版八（上）第十七章因式分解单元测试培优卷

试卷更新日期：2025-12-01 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）

A、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ B、 $(x - 1) (x + 2) = x^{2} + x - 2$ C、 $m a + m b - 1 = m (a + b) - 1$ D、 $8 x^{3} y^{2} = 2 x^{3} \cdot 4 y^{2}$

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2. 下列因式分解结果不正确的是（）

A、 $x^{2} - 3 x = x (x - 3)$ B、 $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ C、 $x^{2} - 2 = (x + 2) (x - 2)$ D、 $(a - 1)^{2} - 4 (a - 2) = (a - 3)^{2}$

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3. 下列因式分解正确的是（）

A、 $3 x - 12 x_{}^{2} = 3 x (1 - 4 x_{}^{2})$ B、 $9 m_{}^{2} - 4 n_{}^{2} = (9 m + 4 n) (9 m - 4 n)$ C、 $3 y_{}^{2} + 6 y + 3 = 3 (y + 1)_{}^{2}$ D、 $a (n - 2) + b (2 - n) = (n - 2) (a + b)$

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4. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 $a + 1$ 的是（）

A、 $a^{2} - 1$ B、 $a^{2} + a$ C、 $a^{2} - 2 a + 1$ D、 $(a + 2)^{2} - 2 (a + 2) + 1$

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5. 把 $4 x y^{2} + 2 x y$ 分解因式，应提取的公因式是（）

A、 $2 x$ B、 $x y$ C、 $2 x y$ D、 $x y^{2}$

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6. 已知实数 $a$ 满足 $a^{2} - 2 a - 1 = 0$ ，则代数式 $2 a^{3} - a^{2} - 8 a + 4$ 的值为（）

A、9 B、7 C、0 D、 $- 9$

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7. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式 $x^{4} - y^{4}$ ，因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，若取 $x = 9$ ， $y = 9$ ，则各个因式的值是： $x - y = 0$ ， $x + y = 18$ ， $x^{2} + y^{2} = 162$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 $x^{3} - x y^{2}$ ，取 $x = 52$ ， $y = 28$ ，用上述方法产生的密码不可能是（）

A、528024 B、522824 C、248052 D、522480

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8. 小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $a - b$ ， $x - y$ ， $x + y$ ， $a + b$ ， $x^{2} - y^{2}$ ， $a^{2} - b^{2}$ 分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将 $(x^{2} - y^{2}) a^{2} - (x^{2} - y^{2}) b^{2}$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱美 B、齐市游 C、爱我齐市 D、美我齐市

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9. 若 $x^{2} + a x + 16$ 在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（）个

A、2 B、4 C、6 D、8

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10. 已知x³+x²+x+1=0，则x^{2 023}+x^{2 022}+x^{2 021}+…+x²+x+2的值是( )

A、0 B、1 C、-1 D、2

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 因式分解： $x^{2} y + 2 x y + y$ = ．

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12. 已知 $x - y = 5$ ， $x y = - 3$ ，则代数式 $x^{2} y - x y^{2}$ 的值为．

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13. 已知a+b＝4，ab＝1，则a³b+2a²b²+ab³的值为．

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14. 若关于x的二次三项式x²+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

15. 分解因式：

(1)、 $3 a^{2} - 6 a b + 3 b^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} (m - 2) + y^{2} (2 - m) .$

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16. 有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如 $a^{2} + 2 a b + b^{2} - 16$ $= {(a + b)}^{2} - 16 = (a + b + 4) (a + b - 4) .$ 请利用分组分解法解决下列问题：

(1)、分解因式： $4 x^{2} - 4 x y - 4 + y^{2} =$ .

(2)、已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 的三边长，若 $a^{2} + c^{2} + a b - b c - 2 a c = 0,$ 试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由.

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17. 如图所示，有若干张长方形卡片和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a²+3ab+
b².

(1)、需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张；

(2)、画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a²+3ab+b²的形式表示出所拼图形的面积；

(3)、根据你拼成的图形把多项式2a²+3ab+b²分解因式.

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18. 阅读下面的分解因式的过程：
$p^{2} - 1 + q^{2} + 2 p q = (p^{2} + 2 p q + q^{2}) - 1$
$= {(p + q)}^{2} - 1$
=(p+q+1)(p+q-1).
利用上述分解因式的方法证明：
如果a，b，c是△ABC的三条边的长，那么 $a^{2} - b^{2} + c^{2} - 2 a c < 0 .$

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19. 根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

(1)、①如果 $a - b < 0$ ，那么 $a$ 　　 $b$ ；
②如果 $a - b = 0$ ，那么 $a$ 　　 $b$ ；
③如果 $a - b > 0$ ，那么 $a$ 　　 $b$ ．

(2)、如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若 $2 a + 2 b - 1 > 3 a + b$ ，比较 $a$ ， $b$ 的大小；
②比较 $3 a^{2} - 2 b + 2 b^{2}$ 与 $3 a^{2} + b^{2} - 1$ 的大小．

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20. 如图所示，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形.

(1)、观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以分解因式为；

(2)、若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15.
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为；
②试求图中所有剪裁线(虚线部分)长的和.

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21. 下面是某同学对多项式（x²﹣4x+2）（x²﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x²﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y²+8y+16（第二步）
＝（y+4）²（第三步）
＝（x²﹣4x+4）²（第四步）
回答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的     ▲  ．
$A$ .提取公因式；
$B$ .平方差公式；
$C$ .两数和的完全平方公式；
$D$ .两数差的完全平方公式．

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底     ▲  ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果      ▲  ．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式（x²﹣2x）（x²﹣2x+2）+1进行因式分解．

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22. 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
$① (x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$ ；
$② (x - 4) (x + 1) = x^{2} - 3 x - 4$ ；
$③ (y - 5) (y - 3) = y^{2} - 8 y + 15$ ．
通过以上计算发现，形如 $(x + p) (x + q)$ 的两个多项式相乘，其结果一定为 $x^{2} + (p + q) x + p q . (p ， q$ 为整数 $)$
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ，即可将形如 $x^{2} + (p + q) x + p q$ 的多项式因式分解成 $(x + p) (x + q) (p$ 、 $q$ 为整数 $)$ ．
例如： $x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + (1 + 2) x + 1 \times 2 = (x + 1) (x + 2)$ ．

(1)、【初步应用】用上面的方法分解因式： $x^{2} + 6 x + 8 =$ ；

(2)、【类比应用】规律应用：若 $x^{2} + m x + 8$ 可用以上方法进行因式分解，则整数 $m$ 的所有可能值是；

(3)、【拓展应用】分解因式： $(x^{2} - 4 x)^{2} - 2 (x^{2} - 4 x) - 15$ ．

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人教版八（上）第十七章 因式分解 单元测试培优卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

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