人教版八（上）第十七章因式分解单元测试基础卷

试卷更新日期：2025-12-01 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $x (x + 1) = x^{2} + x$ B、 ${(x - 5)}^{2} = x^{2} - 10 x + 25$ C、 $3 x^{2} + 1 = x^{2} (3 + \frac{1}{x^{2}})$ D、 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

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2. $4 m^{2} n^{2}$ 与 $6 m n^{2}$ 的公因式是（）

A、 $m^{2} n^{2}$ B、4mm C、2mn² D、 $12 m^{2} n^{2}$

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3. 把多项式 $x y^{2} - x$ 因式分解正确的是（）

A、 $x (y^{2} - 1)$ B、 $x {(y - 1)}^{2}$ C、 $x (x + y) (y - 1)$ D、 $x (y + 1) (y - 1)$

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4. 已知 $x + 2 y = 13$ ， $x - 2 y = 3$ ，则多项式 $x^{2} - 4 y^{2}$ 的值是（）

A、10 B、16 C、39 D、78

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5. 分解因式(x－1)²－2(x－1)＋1的结果是(　　)

A、(x－1)(x－2) B、x² C、(x＋1)² D、(x－2)²

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6. 将下列各式分解因式，结果不含因式 $(x + 2)$ 的是（）

A、 $x^{2} + 2 x$ B、 $x^{2} - 4$ C、 $(x + 1)^{2} + 2 (x + 1) + 1$ D、 $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

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7. 把整式 $x^{3} - 4 x y^{2}$ 分解因式，下列结果正确的是（）

A、 $x (x + 2 y)^{2}$ B、 $x^{3} (1 - \frac{4 y^{2}}{x})$ C、 $x (x + 2 y) (x - 2 y)$ D、 $x (x - 2 y)^{2}$

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8. 已知a ， b ， c为△ABC三边，且满足 $a b - b^{2} = a c - b c$ ，则△ABC是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、不能确定

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9. 已知二次三项式 $x^{2} - kx - 15$ 能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数 $k$ 的取值范围有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 已知 $a = m + 2020$ ， $b = m + 2021$ ， $c = m + 2022$ ，则代数式 $2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 a c$ 的值为（）

A、4 B、10 C、8 D、6

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 分解因式： $8 a b^{2} - 2 a =$ .

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12. 因式分解： $2 x^{2} - 12 x y + 18 y^{2} =$ ．

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13. $8 x^{3} y^{2}$ 和 $12 x^{4} y$ 的公因式是.

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14. 若 $m n = 2$ ， $m - n = 1$ ，则代数式 $m^{2} n - m n^{2}$ 的值是．

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15. 分解因式 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 4 x + 5 y + 3 =$ ．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16. 因式分解：

(1)、 $3 m^{2} - 27$ ；

(2)、 $(a - 2) (a - 4) + 1$ ．

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17. 分解因式：

(1)、 ${(2 a b + 1)}^{2} - a^{4} b^{4};$

(2)、 ${(p + q)}^{2} - 6 (p^{2} - q^{2}) + 9 {(p - q)}^{2} .$

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18. 若x，y满足 $x^{2} + y^{2} = 8$ ， $x y = 2$ ，求下列各式的值.

(1)、 ${(x + y)}^{2}$

(2)、 $x - y$

(3)、 $x^{3} y + x y^{3}$

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19. 我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：

(1)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边且满足 $a^{2} + 2 b^{2} = 2 b (a + c) - c^{2}$ ，判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成 $3 (x - 1) (x + 2)$ ，另一位同学因看错了常数项而分解成 $3 (x + 2) (x - 3)$ ，请你求出原来的多项式并将原式分解因式．

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20. 对于多项式 $x^{2} + x - 2$ ，如果我们把 $x = 1$ 代入此多项式，发现 $x^{2} + x - 2$ 的值为0，这时可以确定多项式中有因式 $(x - 1)$ ；同理，可以确定多项式中有另一个因式 $(x + 2)$ ，于是我们可以得到： $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ ．
又如：对于多项式 $2 x^{2} - 3 x - 2$ ，发现当 $x = 2$ 时， $2 x^{2} - 3 x - 2$ 的值为0，则多项式 $2 x^{2} - 3 x - 2$ 有一个因式 $(x - 2)$ ，我们可以设 $2 x^{2} - 3 x - 2 = (x - 2) (m x + n)$ ，解得 $m = 2, n = 1$ ．于是我们可以得到： $2 x^{2} - 3 x - 2 = (x - 2) (2 x + 1)$ ．
请你根据以上材料，解答以下问题：

(1)、当 $x = 1$ 时，多项式 $6 x^{2} - x - 5$ 的值为0，所以多项式 $6 x^{2} - x - 5$ 有因式_______，从而可以将多项式进行因式分解， $6 x^{2} - x - 5 =$ _______；

(2)、若 $2 a - b = 2$ ，
①关于x的多项式 $a x^{2} + b x - 4$ 有因式_______；
②已知a为正整数，且有两个不同的整数x使多项式 $a x^{2} + b x$ 的值为4，则所有满足条件的a之和为_______．

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21. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图 $A$ 可以用来解释 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

(1)、图 $B$ 可以解释的代数恒等式是______；

(2)、现有足够多的正方形和矩形卡片（如图 $C$ ），试在下面的虚线方框中画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为 $a^{2} + 5 a b + 4 b^{2}$ ，并利用你所画的图形面积对 $a^{2} + 5 a b + 4 b^{2}$ 进行因式分解．

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22. 因为 $(x + 1) (x - 2) = x^{2} - x - 2$ ，所以 $(x^{2} - x - 2) \div (x - 2) = x + 1$ ，我们称之为 $x^{2} - x - 2$ 能被 $x - 2$ 整除，得到 $x + 1$ ．回答下面问题：

(1)、填空 $(x^{2} + x - 6) \div (x + 3) =$ 　　　　．

(2)、多项式 $A = x^{3} + a x^{2} + b x - 75$ ，同时 $A$ 能被 $x - 3$ 整除，得到一个完全平方式 ${(x + t)}^{2}$ ，求 $3 a + b$ 的值．

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23. 从边长为 $a$ 的正方形剪掉一个边长为 $b$ 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）
A． $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B． $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C． $a^{2} + a b = a (a + b)$

(2)、若 $x^{2} - 9 y^{2} = 12, x + 3 y = 4$ ，求 $x - 3 y$ 的值；

(3)、计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{2029^{2}})$ ．

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人教版八（上）第十七章 因式分解 单元测试基础卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

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