人教版八（上）第十六章整式的乘法单元测试培优卷

试卷更新日期：2025-12-01 类型：单元试卷

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一、选择题选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 计算： ${(- 2 m^{4})}^{3} =$ （）

A、 $- 6 m^{7}$ B、 $- 8 m^{7}$ C、 $- 2 m^{12}$ D、 $- 8 m^{12}$

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2. $(x + 8) (x - 4) = x^{2} + m x + n$ ，则 $m$ ， $n$ 的值为（）.

A、 $4$ ， $32$ B、 $4$ ， $- 32$ C、 $- 4$ ， $32$ D、 $- 4$ ， $- 32$

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3. 如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

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4. 若 $5^{x} = 3$ ， 5^y=4，则 $2 5^{x + y}$ 的结果为（）

A、144 B、24 C、25 D、49

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5. 在长方形 $A B C D$ 内，将两张边长分别为a和 $b (a > b)$ 的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①，②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若 $A D - A B = 42$ ，图①中阴影部分的面积表示为 $S_{1}$ ，图②中阴影部分的面积表示为 $S_{2}$ ，以下用含a ， b的代数式表示 $S_{2} - S_{1}$ 的值正确的是（　　）

A、 $42 b$ B、 $36 b$ C、 $42 a$ D、 $36 a$

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6. 已知实数a，b满足 $\frac{1}{2} {(a - 2)}^{2} + 2 = b (a - b)$ ，则 $3 a^{2} + 4 b^{2} + 1012 a - 2024 b + 1$ 的值是（）

A、65 B、105 C、115 D、2025

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7. 定义运算 $★$ 为：若 $a^{b} = N$ （其中： $a > 0$ ， $a \neq 1$ ，以下同），则 $a ★ N = b$ ．如 $2^{3} = 8$ ，则 $2 ★ 8 = 3$ ．设 $a ★ m = x$ ， $a ★ n = y$ ，则 $a ★ (m n) =$ （）

A、 $x y$ B、 $x + y$ C、 $x - y$ D、 $|x - y|$

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8. 如图是由4张纸片拼成的一个长方形，相邻纸片之间互相不重叠也无缝隙，其中①②是两个面积相等的梯形、③④是正方形，若想求出长方形的面积，则只需知道下列哪个条件（　　）

A、①与②的周长之差 B、③的面积 C、①与③的面积之差 D、长方形周长

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9. 设 $a = x - 2022$ ， $b = x - 2024$ ， $c = x - 2023$ ．若 $a^{2} + b^{2} = 16$ ，则 $c^{2}$ 的值是(　　)

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 阅读理解：如果 $a - \frac{1}{a} = 1$ ，我们可以先将等式两边同时平方得到 ${(a - \frac{1}{a})}^{2} = 1$ ，再根据完全平方公式计算得： $a^{2} - 2 a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}} = 1$ ，即 $a^{2} - 2 + \frac{1}{a^{2}} = 1$ ，所以 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 3$ ．请运用上面的方法解决下面问题：如果 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 计算： $2^{2017} \times {(\frac{1}{2})}^{2016} =$ ．

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12. 某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为a m的正方形，第二块是长为(a+10) m，宽为(a+5) m的长方形，则第二块比第一块的面积多了m².

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13. 要使 $(x - 2) (x - 1) + a x$ 展开式中不含x项，则a的值等于．

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14. 在代数式求值时，可以利用交换律，将各项交换位置后，把一个多项式化成“（a²±2ab+b²）+其它项”的形式，然后利用完全平方公式得到“（a±b）²+其它项”，最后整体代入求值，例如对于问题“已知a+b＝2，c＝1，求a²+c²+b²+2ab的值”，可按以下方式求解：a²+c²+b²+2ab＝a²+2ab+b²+c²＝（a+b）²+c²＝2²+1²＝5．请仿照以上过程，解决问题：若m+n＝3﹣t，n﹣k＝t﹣7，则m²+4n²+k²+4mn﹣2mk﹣4nk+1＝．

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15. 计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1＝．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16. 计算

(1)、 $a \cdot a^{2} \cdot a^{3}$ ；

(2)、 $(x - y) (x + 2 y)$ ；

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17. 计算：

(1)、 $2 x (x^{2} - 1) - x (x^{2} + 2);$

(2)、 ${[(x - 3) (x + 3)]}^{2} - {(x^{2} + 1)}^{2} .$

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18. 先化简，再求值： ${(2 x + 3 y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y),$ 其中 $x = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{2} .$

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19. （1）若 $a^{m} = 3$ ， $a^{n} = 4$ ，求 $a^{2 m + n}$ 的值；
（2）若 $16^{m} = 4 \times 2^{2 n - 2}$ ， $27^{n} = 9 \times 3^{m + 3}$ ，求 ${(m - n)}^{2025}$ 的值．

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20. 若(x² +mx－8)(x²－3x+n)的展开式中不含 x²和 x³项，求 m和 n的值.

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21. “读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式 $($ 即可以写成 $a^{2} - b^{2}$ 的形式其中 $a 、 b$ 是整数 $)$ ，则称这个数为“有益数” $.$ 例如， $3$ 是“有益数”，理由：因为 $3 = 2^{2} - 1^{2}$ ，所以 $3$ 是“有益数”．

(1)、按要求填空．
$①$ 已知 $20$ 是“有益数”，请将它写成 $a^{2} - b^{2} (a 、 b$ 是整数 $)$ 的形式； $($ 写一种即可 $)$
$②$ 整式 $x^{2} - 6 x - 7$ 可表示成 $(x - m)^{2} - n^{2} (m 、 n$ 为常数且 $n > 0)$ ，则 $m n$ 的值是；
$③$ 请判断 $122$ 是否为“有益数”，； $($ 填“是”或“否” $)$

(2)、已知 $Y = x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} - 12 y + t (x 、 y$ 是整数， $t$ 是常数 $)$ ，要使 $Y$ 为“有益数”，试求出符合条件的一个 $t$ 值，并说明理由．

(3)、已知 $x_{1}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x + k = 0$ 的解， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x + k - 1 = 0$ 的解 $($ 其中 $k$ 是常数 $)$ ，求“有益数” $Y = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} (x_{1}, x_{2}$ 是整数 $)$ 的值．

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22. 基本知识：通过用两种不同方法计算图1的面积，发现： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 恒成立．基于此，请解答下列问题：

(1)、直接应用：若 $a b = 4$ ， $a + b = 5$ ，直接写出 $a^{2} + b^{2}$ 的值为；

(2)、类比应用：若 $a (3 - a) = 2$ ，则 $a^{2} + {(3 - a)}^{2} =$ ；

(3)、拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策，使同学们体验劳动的快乐，掌握劳动技能．某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动．首先在实践园用栅栏围成一个 $△ A B C$ 区域，用来种植草坪（如图2），其中 $A C ⊥ A B$ 于点A， $A C$ 与 $A B$ 两边的长度和为 $30 m$ ，然后再以 $A C$ ， $A B$ 为边分别向外扩建成正方形 $A C D E$ 和正方形 $A B F G$ 的用地，分别种植三角梅和月季花，向外扩建的两个正方形面积和为 $500 m^{2}$ ．请根据题意求种植草坪的 $△ A B C$ 的面积．

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23. 【阅读理解】
若x满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 $(5 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值．
解：设 $5 - x = a, x - 2 = b$ ，
则 $(5 - x) (x - 2) = a b = 2, a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$ ，
$∴ (5 - x)^{2} + (x - 2)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
【解决问题】

(1)、若x满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，则 $(7 - x)^{2} + (x - 3)^{2} =$ ；

(2)、若x满足 $(x + 1)^{2} + (x - 3)^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；

(3)、如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形。若 $A B = x, A D = x + 1$ ，四边形ABCD的面积为5，求正方形AEMG的面积．

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人教版八（上）第十六章 整式的乘法 单元测试培优卷

一、选择题选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

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