湘教版数学八（上）期末素养综合测试卷提升卷

试卷更新日期：2025-11-30 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若三角形的三边长分别是4、9、a，则a的取值可能是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知某个分式，当 $x = - 1$ 时，分式无意义，当 $x = 2$ 时，分式的值为0，则该分式可能是（）

A、 $\frac{x - 2}{x + 1}$ B、 $\frac{x + 2}{x + 1}$ C、 $\frac{x + 2}{x - 1}$ D、 $\frac{x - 2}{x - 1}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = - 5$ D、 ${(\sqrt{5})}^{2} = 5$

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4. 如图，点 $E$ 在 $A C$ 上， $△ A B C ≌ △ D A E$ ，若 $B C = 3 ， D E = 4$ ，则 $C E$ 的长度为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为（）

A、 $9 0^{°}$ B、 $13 5^{°}$ C、 $12 0^{°}$ D、 $4 5^{°}$ 或 $13 5^{°}$

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6. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 $1$ ： $4$ ，则这个等腰三角形的底角的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $30 °$ 或 $120 °$ C、 $80 °$ D、 $30 °$ 或 $80 °$

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7. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重和公民的文明素质．如图，在某路口的斑马线路段 $A - B - C$ 中， $A B = 2 B C = 10$ 米．当绿灯亮时，小刚通过 $A - B - C$ 共用时10秒，其中通过 $B C$ 的速度是通过 $A B$ 速度的1.3倍，求小刚通过 $A B$ 的速度．设小刚通过 $A B$ 的速度为 $x$ 米/秒，则根据题意列方程为（）

A、 $\frac{5}{x} + \frac{10}{1.3 x} = 10$ B、 $\frac{10}{x} + \frac{5}{1.3 x} = 10$ C、 $\frac{20}{x} + \frac{10}{1.3 x} = 10$ D、 $\frac{10}{x} + \frac{20}{1.3 x} = 10$

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8. 已知实数a满足条件 $| 2011 - a | + \sqrt{a - 2012} = a$ ，那么 $a - 2011^{2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、2010 B、2011 C、2012 D、2013

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9. 设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n= $\frac{n}{3 m - 9} .$ 若关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解，则a的值是（）

A、4 B、-3 C、4或-3 D、4或3

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 上一点， $B D = C D$ ， $E$ 为 $B D$ 上一点， $∠ A = ∠ D E C$ ，若要求 $△ A B D$ 和 $△ E C D$ 的周长之差，则只需要知道（）

A、 $A D - E D$ 的值 B、 $A B - E D$ 的值 C、 $B C - B E$ 的值 D、 $C D - B E$ 的值

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）

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12. 计算∶ $124 \times 122 - 123^{2} =$ ．

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13. 如果关于x的分式方程 $\frac{2 x - m}{x + 1} = 1$ 的解是负数，那么实数m的取值范围为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $A D ⊥ B D$ 于点D， $△ A D C$ 的面积是8，则 $△ A B C$ 的面积是．

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15. 对于任意两个不相等的实数a，b(a>b)，定义一种新运算：a※b= $\frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a - b}},$ 例如 $3 ※ 2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{\sqrt{3 - 2}} = \sqrt{5},$ 则 12※4=

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16. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 4$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 是 $B C$ 上一动点，若以 $D E$ 为边在其右侧作等边三角形 $D E F$ ，连接 $A F$ ，则 $A F$ 的最小值为．

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17. 如图，点 $P$ 为 $△ A B C$ 内部一点，使得 $∠ P B C = 30 °$ ， $∠ P B A = 8 °$ ， $∠ A P B = 150 °$ ， $∠ C A P = 22 °$ ，则 $∠ A P C$ 的度数为 $°$ ．

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18. 如图，直线m是线段 $A B$ 的垂直平分线，点C是直线m上位于 $A B$ 上方的一动点，连接 $C A$ 和 $C B$ ，以 $C A$ 为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形 $C A D$ ，过点D作 $D E ⊥ A B$ ，交直线 $A B$ 于点E，交直线 $A C$ 于点F，连接 $D B$ ，与直线m交于点G，连接 $C E$ ．则在点C运动的过程中，以下结论：① $D C = B C$ ， ② $A C = D F$ ， ③直线 $C E$ 垂直平分线段 $D B$ ， ④ $△ D A F ≌ △ B G C$ ， ⑤ $∠ A C E = ∠ C D G$ 中，正确的是（请填入正确的序号）．

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三、解答题（共8题，共66分）

19. 计算

(1)、 $(3 \sqrt{12} - 2 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) \div 2 \sqrt{3}$

(2)、 ${(\sqrt{3} - 2)}^{2023} {(\sqrt{3} + 2)}^{2024} - 2 |\frac{\sqrt{3}}{2}| - {(- \sqrt{3})}^{0}$

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20. 先将 $\frac{2 a + 1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - a} - \frac{1}{a + 1}$ 化简，并从“－1，0，1，2”中选择一个适当的数作为a的值，再计算出结果.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A C B = ∠ D B C = 90 °$ ， E是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 于点F，且 $A C = E B$ ．

(1)、求证： $△ A C B ≌ △ E B D$ ；

(2)、若 $D B = 12$ ，求 $A C$ 的长．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $B D$ 是 $A C$ 边上的高，点E为直线 $B C$ 上点，且 $C E = A D$ ．

(1)、如图1，当点E在边 $B C$ 上时，求证： $△ C D E$ 为等边三角形；

(2)、如图2，当点E在 $B C$ 的延长线上时，求证： $△ B D E$ 为等腰三角形．

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23. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向 $A B$ ，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线 $A B$ 上两点 A，B的距离分别为 $300 m$ 和 $400 m$ ，又 $A B = 500 m$ ，飞机中心周围 $260 m$ 以内可以受到洒水影响．

(1)、着火点C 受洒水影响吗？为什么？

(2)、若飞机的速度为 $10 m / s$ ，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？

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24. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．

(1)、求篮球和足球的单价分别是多少元：

(2)、学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于4900元．那么有哪几种购买方案？

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25. 在二次根式的计算中，经常会出现 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ 这样的式子，其实可以将其进一步化简.例如： $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ； $\frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{2 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = 2 (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 。以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
根据以上化简方法，解答下列问题：

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{5} - 2} - \frac{5}{\sqrt{5}} =$ ；

(2)、请通过计算比较 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 与 $\sqrt{13} - \sqrt{12}$ 的大小；

(3)、计算 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2024}}$ 。

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26. 【感悟】
（1）如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, ∠ A = 30 °, B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 与点D；若 $C D = 2$ ，则 $A D =$ ；
【探究】
（2）如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 ° ， B D$ 平分 $∠ A B C ， C E ⊥ B D$ ，垂足E在 $B D$ 的延长线上，延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线与F点，求证： $B D = 2 C E$ ；
【拓展】
（3）如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A = 90 °$ ，点D在线段 $B C$ 上， $2 ∠ F D C = ∠ A C B ， C F ⊥ D F$ ，垂足为 $F ， D F$ 交 $A B$ 与E点，试探究线段 $C F$ 与 $D E$ 的数量关系，并证明你的结论．

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