湘教版数学八（上）期末素养综合测试卷基础卷

试卷更新日期：2025-11-30 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列式子是分式的是（）

A、 $\frac{x}{2}$ B、 $\frac{x}{x + 1}$ C、 $x + y$ D、 $\frac{x}{π}$

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2. 以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（）

A、3，5，8 B、3，4，6 C、10，9，1 D、5，2，2

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3. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅 $0.00000000034$ 米，将 $0.00000000034$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.34 \times 10^{- 9}$ B、 $3.4 \times 10^{- 11}$ C、 $3.4 \times 10^{- 10}$ D、 $34 \times 10^{- 11}$

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4. 下列运算，结果正确的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$ C、 $\frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{4}$ D、 $\sqrt{6} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{3}$

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5. 为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30千米的时间与乙匀速骑行25千米的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2千米．设甲每小时骑行 $x$ 千米，根据题意列出的方程正确的是（）

A、 $\frac{30}{x + 2} = \frac{25}{x}$ B、 $\frac{30}{x} = \frac{25}{x + 2}$ C、 $\frac{30}{x} = \frac{25}{x - 2}$ D、 $\frac{30}{x - 2} = \frac{25}{x}$

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6. 如图，作 $△ A B C$ 中边 $A B$ 的垂直平分线 $D E, A B = 8 cm ， △ A C D$ 的周长为 $12 cm$ ，则 $△ A B C$ 的周长是（） $cm$

A、20 B、16 C、15 D、21

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7. 如图，已知 $△ A B C$ ≌ $△ D C B$ ， $A B = 10$ ， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B C = 80 °$ ，那么下列结论中错误的是（）．

A、 $∠ D = 60 °$ B、 $∠ D B C = 40 °$ C、 $A C = D B$ D、 $B E = 10$

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8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形 $A B C D$ 与四边形 $E F G H$ 都是正方形．若 $G C = 2$ ， $∠ A D E = 30 °$ ，则正方形 $E F G H$ 的面积为（　　）

A、 $16 - 8 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3} - 12$ C、 $8 - 4 \sqrt{3}$ D、 $16 - 4 \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 52 °$ ， P是 $A B$ 上的一个动点，则 $∠ A P C$ 的度数可能是（）

A、 $52 °$ B、 $63 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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10. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $△ A B C$ 的角平分线 $A D 、 B E$ 相交于点P，延长 $B C$ 至F，使 $B F = B A$ ，连接 $P F$ 交 $A C$ 于点H，则下列结论：① $∠ A P B = 135 °$ ；② $P F ⊥ A D$ ；③ $△ A P H ≌ △ F P D$ ；④ $P E = P H$ ；⑤ $A H + B D = A B$ ；其中正确的有（　　）

A、①②④⑤ B、①②③⑤ C、①②③ D、①②⑤

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 要说明命题“若 $x > 1$ ，则 $a x > a$ ”是假命题，反例 $a$ 的值可以是（写出一个即可）．

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12. 若分式 $\frac{x^{2} - 9}{2 x - 6}$ 的值为零，则x的值为．

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13. 因式分解： $x^{2} y - 4 y$ = ．

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14. 如果 $y = \sqrt{x - 2024} + \sqrt{2024 - x} - 1$ ，那么 $y^{x} =$ ．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 D，E，连接 $B E$ ，则 $∠ B E C$ 的大小为．

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16. 如图，点 $C$ 是正方形 $A D E F$ 内一点，连接 $A C ， F C$ ，且 $A C ⊥ F C$ ，以 $A C$ 为斜边在 $A C$ 下方作Rt $△ A B C$ ，且 $∠ A B C = 90^{\circ}$ ，若 $B C = 4 ， A B = 3 ， C F = 12$ ，则正方形 $A D E F$ 的面积为．

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17. 若整数a使关于x的分式方程 $\frac{a}{x - 3} + \frac{4}{3 - x} = \frac{1}{2}$ 的解为非负数，且使关于y的不等式组 ${\begin{cases} x + 7 \leq 2 (y + 4) \\ \frac{5 y - a}{3} < 1 \end{cases}$ 有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为。

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18. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 边上固定一点，点P是 $A B$ 边上一动点，连接 $A D, P D$ ．当 $A P = 1$ 时， $P D = B D$ ，当 $A P = 3$ 时， $P D$ 有最小值．则线段 $A D$ 的长为．

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三、解答题（共8题，共66分）

19. 计算：

(1)、 $(- 1)^{2024} - 2 (π + 1)^{0} + \sqrt[3]{27} - | 1 - \sqrt{2} |$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{72} + \sqrt{8}}{\sqrt{18}} - (2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) .$

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20. 先化简 $(1 - \frac{2}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．

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21. 用尺规完成下列作图：

(1)、如图(1)，已知∠ABC，以点B为顶点，射线BA为一边，在∠ABC外作一个角，使它等于∠ABC；

(2)、如图(2)，已知∠α， ∠β，作一个角，使它等于∠α与∠β的和。

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22. “垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了 $A$ ， $B$ 两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知 $B$ 品牌垃圾桶比 $A$ 品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买 $A$ 品牌垃圾桶的数量与用6000元购买 $B$ 品牌垃圾桶的数量相同．

(1)、求购买一个 $A$ 品牌、一个 $B$ 品牌的垃圾桶各需多少元？

(2)、若学校决定再次准备用不超过4800元购进 $A$ ， $B$ 两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整： $A$ 品牌按第一次购买时售价的九折出售， $B$ 品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个 $B$ 品牌垃圾桶？

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23. 在数学活动课上，同学们用边长为 $m$ ， $n$ 的两个正方形 $A$ ， $B$ （如图1）进行摆放，其中 $m > n$ ．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形 $B$ 放在正方形 $A$ 内部；方式二，如图3，将正方形 $A$ ， $B$ 并列放置在边长为 $(m + n)$ 的正方形内部．若记图1中正方形 $A$ ， $B$ 的面积之和为 $a$ ，记图2，图3中阴影部分的面积分别为 $b$ ， $c$ ，解答下列问题：

(1)、用 $m$ ， $n$ 的代数式表示 $c$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．试猜想 $△ A B C$ 是哪一类三角形，并证明你的猜想；

(3)、已知直角三角形的两边长为 $m$ ， $n$ ，且 $m$ ， $n$ 为整数，当 $a = 25$ 时，求直角三角形第三边的长．

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24. 小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究：

(1)、【问题背景】如图①，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $A B = A C + C D$ ．求 $∠ B$ 的度数．
解：在 $A B$ 上截取一点E，使得 $A E = A C$ ，证明 $△ A C D ≌ △ A E D$ ，得到 $C D = D E = B E$ …
请把上面的步骤补充完整．

(2)、【问题解决】如图②，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ C = 2 ∠ B$ ，判断线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、【拓展延伸】如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = A B$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $A E ⊥ C D$ 于点 $E$ ，直接写出线段 $C D$ ， $B C$ ， $D E$ 之间的数量关系：________．

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