浙教版数学九年级上册期末检测培优卷

试卷更新日期：2025-11-30 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知 $3 a - b = 0$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值是（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 已知 $⊙ O$ 的半径为5， $O A = 6$ ，则点 $A$ 在（）

A、 $⊙ O$ 内 B、 $⊙ O$ 上 C、 $⊙ O$ 外 D、无法确定

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3. 如果两个相似三角形的面积比为 $1 ： 4$ ，那么它们的相似比为（）

A、 $1 ： 16$ B、 $1 ： 8$ C、 $1 ： 4$ D、 $1 ： 2$

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4. 如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若 ∠C=140°，则 ∠BOD的度数为（）

A、 $40^{\circ}$ B、 $80^{\circ}$ C、 $140^{\circ}$ D、 $160^{\circ}$

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5. 已知 $y = x (x - 2), 0 ⩽ x ⩽ 4$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $x = 0$ 时， $y$ 有最小值
B、当 $x = 0$ 时， $y$ 有取大值
C、当 $x = 1$ 时， $y$ 有最小值
D、当 $x = 1$ 时， $y$ 有最大值

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6. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（）

A、0.80 B、0.79 C、0.78 D、0.77

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7. 如图， $O A$ 是 $⊙ O$ 的半径，弦 $B C ⊥ O A$ ， $E$ 是 $⊙ O$ 上一点， $A E$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A D = 1$ ， $E D = 2$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 的 $A B$ 、 $A C$ 边上分别取点 $E$ 、 $F$ 使得 $△ A B C$ 与以 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定 $E$ 、 $F$ 的方法，正确的有（）．

A、3种 B、2种 C、1种 D、全部错误

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A C, B C$ 于点 $D, E$ ，连接 $E D$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 等腰 $Rt △ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 5$ ， $∠ B P C = ∠ A P C = 135 °$ ，则 $C P =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 拋物线 $y = a x^{2} + x + 1$ 的开口向下，则 $a$ 的值可以取．（写出一个即可）

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12. 在 20件样品中，有一等品 10件，二等品7件，三等品3件，从中任取1件，结果为三等品的概率为.

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13. 如图，地面 $C D$ 上的点 $E$ 处放置平面镜，光线从 $A$ 点射出经平面镜（点 $E$ 处）反射后照射到 $B$ 点．已知 $A C ⊥ C D$ ， $B D ⊥ C D$ ，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ， $A C = 0.2$ 米， $B D = 0.5$ 米， $C D = 1.4$ 米，则 $C E$ 长为米．

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14. 在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若 $A D = 2$ ，则 $A N$ 的长为．

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15. 如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2$ ，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为 $0 .3m$ ，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于 $0 .3m$ ，即图中 $A P \leq 0.3 m$ ， $B Q \leq 0.3 m$ ，则最多可安装支撑杆条．

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16. 已知：如图，二次函数 $y = - \frac{4}{9} x^{2} + 4$ 的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$ ，点 $P$ 在以 $A$ 点为圆心，2个单位长度为半径的圆上， $Q$ 点是 $B P$ 的中点，连接 $O Q$ ，则 $O Q$ 的最小值为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 已知 $a = 2 b$ ，求下列各式的值．

(1)、 $\frac{a}{b}$ ；

(2)、 $\frac{a - b}{a + b}$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 为 $△ A B C$ 的一条角平分线，在 $B C$ 上取点 $E$ ，且 $B E = D E$ ．

(1)、求证： $△ C D E ∽ △ C A B$ ．

(2)、若 $A B = 6$ ， $B E = 4$ ，求 $C E$ 的长．

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19. 如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表．
自由转动转盘n次
100
300
500
1500
3000
…
指针落在黑色区域的频数m
23
78
125
375
750
…
指针落在黑色区域的频率p
$0.23$
$0.26$
$0.25$
$0.25$
$0.25$
$\dots$

(1)、观察上表，求黑色扇形圆心角的度数．

(2)、如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率．

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20. 尺规作图（注：在答题纸上作图，并保留作图痕迹）
已知A，B是圆上两点，用直尺和圆规作圆的内接等腰三角形 $A B C$ ．
雯雯：如图1，以点A为圆心， $A B$ 长为半径作弧，交圆于点C，可以画出 $△ A B C$ ．
周周：以点B为圆心， $B A$ 为半径作弧，交圆于点C，也可以画出 $△ A B C$ ．

(1)、请按照周周的说法，在图2中画出等腰三角形 $A B C$ ．

(2)、雯雯思考后认为，她和周周的作法都不严谨，请说明理由．

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21. 已知二次函数 $y = a x^{2} - (a - 2) x + 6$ 过点 $(3, 0)$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、当 $0 \leq x \leq 5$ 时，求二次函数的最小值；

(3)、当 $t \leq x \leq t + 1$ 时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求 $t$ 的值．

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22. 某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯 $A B$ ， $C D$ 之间行走，点 $A$ ， $C$ 为光源，影子 $P E$ 和 $P F$ 在线段 $B D$ 上，图 $①$ ，图 $②$ 为示意图 $.$ 已知 $A B = C D = 8 m$ ，小静的身高 $O P = 1.6 m$ ， $O P ⊥ B D$ 于点 $P$ ， $B D = 14.4 m$ ．

(1)、如图 $①$ ，当点 $P$ 为 $B D$ 中点时，分别求线段 $P E$ ， $P F$ 的长．

(2)、如图 $②$ ，当点 $P$ 不是 $B D$ 中点时，设 $P E = a$ ，求线段 $P F$ 的长 $. ($ 用含有 $a$ 的代数式表示 $)$

(3)、由此，你觉得 $P E$ 与 $P F$ 存在怎样的数量关系？

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23. 某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供 200 人同时游玩，当游玩票价为 50 元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间（含 50 元和 80 元）浮动时，每提高 2 元，每场人数会减少 4 人．

(1)、设票价为 $x$ 元，请写出每场人数 $y$ 关于票价 $x$ 的函数关系式．

(2)、已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据＂营业收入 $=$ 票价 $\times$ 每场人数＂这一关系，求此时的票价．

(3)、当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？

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24. 如图 1，四边形 $A B C D$ 为圆内接四边形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A E$ 上， $D F = A E, ∠ D F C = ∠ B D C$ ．

(1)、求证： $C F = A B$ ．

(2)、如图 2，若点 $B$ 为 $\overset{⏜}{B C}$ 的中点，求证： $B E^{2} = C E \cdot C B$ ．

(3)、在（2）的条件下， $A F = 1, △ D E F$ 的面积为 2 ，求 $C E$ 的长．

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试验次数	100	300	500	1000	1600	2000
“有2个人同月过生日”的次数	80	229	392	779	1251	1562
“有2个人同月过生日”的频率	0.8	0.763	0.784	0.779	0.782	0.781

自由转动转盘n次	100	300	500	1500	3000	…
指针落在黑色区域的频数m	23	78	125	375	750	…
指针落在黑色区域的频率p	$0.23$	$0.26$	$0.25$	$0.25$	$0.25$	$\dots$