广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-09 类型：期中考试

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的．

1. 设 $A = \{4, 5, 6, 8\}, B = \{3, 5, 7, 8\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{5, 8\}$ C、 $\{3, 4, 6, 7\}$ D、 $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

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2. 命题 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 1$ 的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - x > 1$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 1$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - x > 1$

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3. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a + 3 < b + 3$ B、 $2 a < 2 b$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $a - 1 > b - 1$

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4. 不等式 $(x - 1) (x - 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x |- 2 < x < - 1\}$ C、 $\{x |x > 2 或 x < 1\}$ D、 $\{x |x \leq - 1\}$

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5. “ $x = 3$ ”是“ $x^{2} = 9$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $1 \in \{0, a, a^{2}\}$ }，则 $a$ 的值为（）

A、1或－1 B、0 C、－1 D、2

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7. 已知实数x，y满足 $- 1 < x < 4$ ， $2 < y < 3$ ，则 $z = x + 2 y$ （）

A、 $\{z |1 < z < 7\}$ B、 $\{z |0 < z < 1\}$ C、 $\{z |3 < z < 10\}$ D、 $\{z |- 1 < z < 3\}$

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8. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (m + 3) x + 2 m + 2 \leq 0 (m \in R)$ 的整数解恰有4个，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, - 2] \cup [4, 5]$ B、 $[- 3, - 2] \cup [4, 5)$ C、 $(- 3, - 2] \cup [4, 5)$ D、 $[- 3, - 2] \cup [4, 5]$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中有多项符合题目要求，全部选对得6分．部分选对得部分分，选错或不选的得0分．

9. 已知集合 $A = \{x |x^{2} - 1 = 0\}$ ，则下列式子表示正确的是（）

A、 $1 \in A$ B、 $\{- 1\} \in A$ C、 $0 \in A$ D、 $\{1, - 1\} \subseteq A$

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10. 下面各组中的函数为同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 1 (x \neq 0)$ ， $g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 1$ B、 $a b$ 的最小值为16 C、 $a + b$ 的最小值为8 D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{9}{b}$ 的最小值为2

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域是.

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13. 已知函数 $y = 2 x + 1$ ， $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则此函数的值域为．

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14. 当 $x > 1$ 时，不等式 $2 x + \frac{3}{x - 1} \geq a$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知全集 $U = \{x |x \leq 7, x \in N^{*}\}$ ，集合 $A = \{1, 2, 3, 6\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 3, 4\}$ .

(1)、求 $A \cup B, A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{U} A) \cap B$ ．

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16. （1）设全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $A = \{- 1, 2\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 4 x + 3 = 0\}$ ，求 $∁_{U} (A \cup B)$ ．
（2）设集合 $A = \{0, - a\}$ ， $B = \{1, a - 2, 2 a - 2\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，求a的值．

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17. 已知集合 $A = \{x |a \leq x \leq 3 a - 1\}, B = {x | x < - 2$ 或 $x > 5}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $(∁_{R} B) \cap A$

(2)、若 $A \cap (∁_{R} B) = A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18. 今年春节一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某 $A$ 企业春节期间加班追产提供 $x (1 < x < 20)$ （万元）的专项补. $A$ 企业在收到政府 $x$ （万元）补贴后，产量将增加到 $t = (x + 2)$ （万件）.同时 $A$ 企业生产 $t$ （万件）产品需要投入成本为 $(7 t + \frac{72}{t} + 2 x)$ （万元），并以每件 $(6 + \frac{40}{t})$ 元的价格将其生产的产品全部售出.
注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.

(1)、求 $A$ 企业春节期间加班追产所获收益 $R (x)$ （万元）关于政府补贴 $x$ （万元）的函数关系式；

(2)、当政府的专项补贴为多少万元时， $A$ 企业春节期间加班追产所获收益最大？

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19. 对于二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，若 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $a x_{0}^{2} + b x_{0} + c = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的不动点．

(1)、求二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 2$ 的不动点；

(2)、对于二次函数 $y = 2 x^{2} - (2 + a) x + a - 1$
①当 $0 < x < 2$ 时，函数 $y^{'} = y + 2$ 有唯一的不动点，求实数 $a$ 的取值范围；
②若函数 $y$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}, x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的最小值．

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