湖南省名校联考联合体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（B卷）

试卷更新日期：2025-11-18 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = \{x | x \leq 2\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $[- 1, 2]$

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2. 命题“ $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ ”的否定是：（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$

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3. “ $a > 1$ ”是“函数 $f (x) = (a + 2) x$ 在 $R$ 上单调递增”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{1 - x}, x < 0, \\ x^{2}, x \geq 0, \end{array}$ 则使得 $f (a) = 1$ 的 $a$ 的值为（）

A、0或1或-1 B、1 C、0 D、-1

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5. 若不等式 $x + \frac{3}{x} > 8 k$ 对一切 $x \in (0, + \infty)$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, + \infty)$ B、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{4})$ D、 $(- \infty, \frac{\sqrt{6}}{2})$

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6. 函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x| - 1}$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = \frac{|x^{2} - 1|}{|x| - 1}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x - 1|}$

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7. 定义： $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]= 1,[- 2.1]= - 3,[1] = 1$ ，则不等式 ${[2 x]}^{2} - 5 [2 x] + 6 \leq 0$ 的解集为（）

A、 $[1, 2.5)$ B、 $[1.5, 2.5)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2)$

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8. 已知 $f (x), g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其中 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = a x^{2} + x + 2$ ，若 $\frac{g (x)}{x} \geq 1$ 在区间 $[1, 3]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{9}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{8}, + \infty)$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ ，则（）

A、当 $α = 2$ 时， $f (2) > f (- 3)$ B、当 $α = - 1$ 时， $f (x)$ 的定义域为 $R$ C、当 $α = 3$ 时， $f (x)$ 为增函数 D、当 $α = \frac{1}{2}$ 时， $f (x^{2})$ 为偶函数

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10. 已知 $f (x)$ 是奇函数，定义域为 $\{x ∣ x \neq 0\}$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x - 2}{2 x + 1}$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 3) = - \frac{1}{7}$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{- x - 2}{2 x - 1}$ C、当 $x \in (- \infty, - 1]$ 时， $f (x)$ 单调递减 D、 $- 2 < f (x) < 2$

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11. 对于函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、设 $h (x) = f (x) + f (\frac{1}{x}), x > 0$ ，则 $h (x)$ 在 $(0, \sqrt{a + 1})$ 上单调递减，在 $(\sqrt{a + 1}, + \infty)$ 上单调递增 C、若方程 $f (x) - a = 0$ 在定义域内恰有两个不同的根，则实数 $a$ 的取值范围为 $(4, + \infty)$ D、若 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值比最小值大1，则实数 $a$ 的取值不唯一

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{x}$ 的定义域是．

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13. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x > 0 \\ \frac{1}{2} g (x) - x, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $g (- 2) =$ ．

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14. 若 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (2) = 2$ ．若对任意的两个不相等的正数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则 $f (x) - x < 0$ 的解集为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增．

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16. 已知集合 $A = \{x ∣ 3 - a \leq x \leq 3 + a\}, B = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 5 \geq 0\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = ∁_{R} B$ ，且 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 2025年被称为“智能体元年”，基于 $AI$ 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 $AI$ 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百 $GPU$ 小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{cases} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{cases}$ .已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且在 $t = 10$ 处函数图象是连续不断的．

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围；

(3)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}$ ， $t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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18. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x) > 4 - 7 x$ 的解集为 $(1, 4)$ ，且 $f (0) = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x > 0$ ，求 $g (x) = \frac{f (x) - 1}{x}$ 的最大值；

(3)、当 $x \in [t, t + 2] (t \in R)$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值 $h (t)$ （用 $t$ 表示）．

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19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，两点间的“曼哈顿距离” $d (P_{1}, P_{2}) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．

(1)、如图，若 $O$ 为坐标原点， $A, B$ 两点坐标分别为 $(2, 3)$ 和 $(4, 1)$ ，求 $d (O, A), d (O, B), d (A, B)$ ；

(2)、若点 $P$ 满足 $d (O, P) = 5$ ，试在图中画出点 $P$ 的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；

(3)、已知函数 $f (x) = {(x + 2)}^{2}, x \in [- 4, 0], M$ 是 $f (x)$ 图象上一个动点，求 $d (O, M)$ 的最值，并求出此时点 $M$ 的坐标．

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