湖南省宁远舜德高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = \{x \in N ∣ 0 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{2, 0, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{2, 0, 5\}$ C、 $\{2, 0\}$ D、 $\{0, 5\}$

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2. 已知复数z满足 $z + 2 \bar{z} = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、1

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3. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为 $C D_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{c}$

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4. 过点 $P (3, 2)$ 作圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 和 $B$ ，则切点弦 $A B$ 所在直线的方程为（）

A、 $2 x + y - 6 = 0$ B、 $x + 2 y - 7 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $3 x + y - 9 = 0$

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5. 若函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 12 x + 20, x \leq 2 \\ 3 + \log_{a} x, x > 2 \end{cases}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）值域是 $[4, + \infty)$ ，则实数 $a$ 取值范围为（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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6. 已知两点 $A (- 1, 5), B (0, 0)$ ，若直线 $l : (k + 1) x - (2 k - 2) y + 2 k - 6 = 0$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 倾斜角的取值范围为（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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7. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若 $A B = A C = A A_{1} = 2 ， ∠ B A C = 120^{\circ} ，$ 则此球的表面积为（）

A、10π B、12π C、16π D、20π

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8. 已知等轴双曲线的实轴长为 $2 a (a > 0)$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|F_{1} A| = |A B|$ ，则 $|B F_{2}| =$ （）

A、 $\frac{1}{2} a$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ C、 $a$ D、 $\sqrt{2} a$

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二、多选题

9. 以下四个命题中正确的是（）．

A、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一组基底，则 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} - \vec{c}\}$ 构成空间的另一组基底 B、直线l的方向向量 $\vec{a} = (1, - 2, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (- 2, 4, 2)$ ，则 $l ⊥$ 平面 $α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - 1, 1)$ D、对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 $\vec{O P} = \vec{O A} + \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面

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10. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ， $\vec{P E} = \vec{E D}$ ，则（）

A、 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{A P} - \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $|\vec{B E}| = 6$ C、异面直线 $B E$ 与 $P A$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $E$ 到平面 $B A C$ 的距离为1

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11. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + \frac{π}{3}) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、点 $(\frac{5π}{6}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、直线 $x = - \frac{π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 图象可以由函数 $y = 2 cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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三、填空题

12. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，若 $A (2, 0, 2), B (2, 1, 0), C (0, 4, - 1)$ ， $M (0, m, - 5)$ 四点共面，则 $m =$ ．

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13. 直线 $m x + n y - 1 = 0$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）截圆 $x^{2} - 2 x + y^{2} - 2 y = 0$ 的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ， $M$ 是椭圆上一点，且满足 $\vec{F_{1} M} ⊥ \vec{F_{2} M}$ ，则椭圆的离心率 $e$ 的取值范围为．

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四、解答题

15. 已知点 $A (- 1, 2), B (- 1, 0), C (1, 0)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若过点 $M (1, 3)$ 的直线 $l$ 被圆 $E$ 截得的弦长为 $2$ ，求直线 $l$ 的方程．

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16. 已知 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + a c, b = 2 \sqrt{3}$

(1)、求 $R$ 的值；

(2)、求 $r$ 的取值范围.

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17. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、求 $B D_{1}$ 与平面 $B C_{1} D$ 所成角的余弦值．

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18. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率是 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，焦距为6.

(1)、求双曲线 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + 1$ 与双曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 9$ （ $O$ 为坐标原点），求 $k$ 的值.

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19. 某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含 $3$ 道传统文化题和 $2$ 道数学历史题的题袋中随机抽取 $2$ 道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.

(1)、求甲抽到的 $2$ 道题中恰好是 $1$ 道传统文化题和 $1$ 道数学历史题的概率；

(2)、若甲答对每道题的概率均为 $0.8$ ，乙答对每道题的概率均为 $0.7$ ，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于 $3$ 道的概率.

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