北师大版数学八年级上册单元分层检测卷第五章《二元一次方程组》B卷

试卷更新日期：2025-11-23 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，羊价为 $y$ 钱，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x - 45 = y \\ 7 x - 3 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 45 = y \\ 7 x - 3 = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 45 = y \\ 7 x + 3 = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x - 45 = y \\ 7 x + 3 = y \end{array}$

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2. 点 $P (x, y)$ 在直线 $y = - \frac{3}{4} x + 4$ 上，坐标 $(x, y)$ 是二元一次方程 $5 x - 6 y = 33$ 的解，则点P的位置在( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为 $x$ ， $y$ ，则下列关系式正确的是（）

A、 $x = y$ B、 $x = 2 y$ C、 $x = 4 y$ D、 $x = 5 y$

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4. 二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + y = 10 \\ x = 2 y \end{matrix}$ 的解是（）

A、 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 4 \\ y = 2 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \end{matrix}$

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5. 已知关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 4 m + 1 \\ x + y = 2 m - 5 \end{array}$ 的解满足 $x - y = 4$ ，则m的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 下列4组数中，不是二元一次方程 $2 x + y = 4$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 0 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 0.5 \\ y = 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 4 \end{array}$

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7. 关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 2 m - 1 \\ x - y = n \end{array}$ 的解满足 $x + y = 1$ ，则 $4^{m} \div 2^{n}$ 的值是（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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8. 【素材1】某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等.

【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟.小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系（部分数据）如图所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟.

【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）

A、4200米 B、4800米 C、5200米 D、5400米

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9. 某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（）

	5号电池（节）	7号电池（节）	总质量（克）
第一天	2	2	72
第二天	3	2	96

A、12 B、16 C、24 D、26

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10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + b$ 与 $y = m x + n (a < m < 0)$ 的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数 $y = m x + n$ 的图象中， $y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大；②方程组 ${\begin{array}{l} y - a x = b \\ y - m x = n \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = 2 \end{array}$ ；③方程 $m x + n = 0$ 的解为 $x = 2$ ；④当 $x = 0$ 时， $a x + b = - 1$ .
其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 若关于x、y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a x + y = b \\ c x - y = d \end{array}$ 的解是 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ ，则关于x、y的方程组 $\{\begin{array}{l} a x + 2 y = 2 a + b \\ c x - 2 y = 2 c + d \end{array}$ 的解是．

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12. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为。

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13. 点Q的横坐标为一元一次方程 $3 x + 7 = 32 - 2 x$ 的解，纵坐标为 $a + b$ 的值，其中a，b满足二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 a - b = 4 \\ - a + 2 b = - 8 \end{array}$ ，则点Q关于y轴对称点 $Q^{'}$ 的坐标为．

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14. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝．

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15. 若实数m，n满足 $∣ m - n - 5 ∣ + \sqrt{2 m + n - 4} = 0$ ，则 $3 m + n =$ .

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16. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线l₁：y $= \frac{1}{4}$ x $+ \frac{1}{2}$ 与直线l₂：y＝kx+3相交于点A，则方程组 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \\ y = k x + 3 \end{matrix}$ 的解为 .

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三、解答题（共8题，共72分

17. 解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} x + y = - 1 \\ 2 x - y = 4 \end{array}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 (x - 1) = y + 4 \\ \frac{x + y}{3} + \frac{x - y}{6} = 1 \end{array}$ ．

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18. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x = y + 1, ① \\ 3 x - 2 y = 4; ② \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 3, ① \\ \frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y = \frac{13}{4} . ② \end{array}$

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19. 请你根据下列素材，完成有关任务.

背景	某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一	购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二	购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三	该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
任务一	每个篮球，每个排球的价格分别是多少元?
任务二	给出最节省费用的购买方案.

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20. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g ，其核心营养素如下：
食品类别
能量（单位：Kcal）
蛋白质（单位：g）
脂肪（单位：g）
碳水化合物（单位：g）
A
240
12
7.5
29.8
B
280
13
9
27.6

(1)、若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？

(2)、若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g ，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？

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21. 某校积极开展劳动教育，两次购买A ， B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：

A型劳动用品（件）
B型劳动用品（件）
合计金额（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800

(1)、求A ， B两种型号劳动用品的单价；

(2)、若该校计划再次购买A ， B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A ， B两种型号劳动用品的单价保持不变）

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22. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
22
乙
b
25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元.

(1)、求a ， b的值；

(2)、该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.

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23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数 $y = \frac{3}{4} x$ 与一次函数 $y = - x + 7$ 的图象交于点A．

(1)、求点A的坐标；

(2)、设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交 $y = \frac{3}{4} x$ 和 $y = - x + 7$ 的图象于点B、C，连接OC．若BC= $\frac{7}{5}$ OA，求△OBC的面积．

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24. 综合与探究
【课本再现】
七年级下册教材 $P 115$ 页中我们曾探究过“以方程 $x - y = 0$ 的解为坐标的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（ $x$ 的值为横坐标、 $y$ 的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如： ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 1 \end{array}$ ， ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$ 是方程 $x - y = 0$ 的解，对应点 $A (- 1, - 1)$ 、 $B (2, 2)$ ．如图所示，我们在平面坐标系中将其标出，另外，方程的解还对应点 $(3, 3)$ 、 $(4, 4)$ ……将这些点连起来正好是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程 $x - y = 0$ 的解，所以我们把这条直线就叫做方程 $x - y = 0$ 的图象．
结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线．

(1)、解决问题】
已知 $A (1, 2)$ 、 $B (- 2, 0)$ 、 $C (- 1, 2)$ ，则点（填“ $A$ 或 $B$ 或 $C$ ”）在方程 $2 x + 3 y = 4$ 的图象上．

(2)、已知无论 $a$ 为何值，关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程 $a x + 3 (y - a) = 1$ 的图象都经过某一定点，且这个定点在方程 $2 x + b y = 5$ 的图象上，求 $b$ 的值．

(3)、【拓展延伸】
已知 $m$ 为实数， $k$ 为正整数，关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} \frac{4}{3} (x - \frac{3}{2} m - 4) + 6 y = 0 \\ \frac{k x - y + m}{2} = 3 y - m + 10 \end{array}$ 的解也为正整数，且以此方程组的解为坐标的点在方程 $2 x + y = 9$ 的图象上，求 $m$ 的值．

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食品类别	能量（单位：Kcal）	蛋白质（单位：g）	脂肪（单位：g）	碳水化合物（单位：g）
A	240	12	7.5	29.8
B	280	13	9	27.6

	A型劳动用品（件）	B型劳动用品（件）	合计金额（元）
第一次	20	25	1150
第二次	10	20	800

水果种类	进价（元/千克）	售价（元/千克）
甲	a	22
乙	b	25

北师大版数学八年级上册单元分层检测卷第五章 《二元一次方程组》B卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分

北师大版数学八年级上册单元分层检测卷第五章《二元一次方程组》B卷