浙江省杭州第四中学2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-10-25 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题“ $\exists x \in (0, 2), 2 x - x^{2} \geq 1$ ”的否定是（　　）

A、 $\forall x \notin (0, 2), 2 x - x^{2} \geq 1$ B、 $\forall x \in (0, 2), 2 x - x^{2} < 1$ C、 $\exists x \in (0, 2), 2 x - x^{2} < 1$ D、 $\exists x \notin (0, 2), 2 x - x^{2} \geq 1$

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2. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = \{m - 1, m\}$ ，且 $A \cap B$ 的元素个数为2，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[1, 2]$ D、 $(0, 2]$

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3. 若 $A B < 0$ ， $B C < 0$ ，则直线 $A x - B y + C = 0$ 一定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2 π$ ，则圆锥母线与底面所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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6. 若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $2 \vec{b}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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7. 已知函数 $f (x) = \sin |a x + \frac{π}{3}|, a > 0$ 在 $[- π, π]$ 上恰有 $5$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$ B、 $[\frac{7}{3}, \frac{8}{3})$ C、 $[\frac{7}{3}, \frac{10}{3})$ D、 $[\frac{8}{3}, \frac{10}{3})$

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8. 设函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + a$ ，若存在实数 $b$ ，使得 $\{x| f (x) = b\} = \{x| f (f (x)) = b\} \neq \emptyset$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{13}{2}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9. 已知某地社交媒体用户的日活跃时长 $X$ （单位：小时）服从正态分布 $N (2.4, {0.7}^{2})$ ，则（）

A、 $E (X) = 2.4$ ， $D (X) = 0.7$ B、若 $P (X \leq 1) = P (X \geq b)$ ，则 $b = 3.8$ C、 $P (X \leq 0.3) + P (X \geq 4.5) < P (0.3 < X < 4.5)$ D、 $P (|X - 2| \leq 0.7) \geq P (|X - 3| \leq 0.7)$

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10. 设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{15} < 0$ ， $\frac{a_{7}}{a_{8}} < - 1$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $|a_{7}| < |a_{8}|$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 7$ D、使 $S_{n} > 0$ 成立的最大整数 $n$ 为13

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11. 设 $a$ ， $b \in R_{+}$ ，已知函数 $f (x) = \ln x - \sqrt{a x + b}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有唯一的极值点 B、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $a \in (0, \frac{2}{e})$
C、若 $a < 2 e^{1 - e}$ ，且 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $a e^{\sqrt{1 + b}} > 2$ D、若 $a < 2 e^{1 - e}$ ，且 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $a e^{\sqrt{1 + b}} < 2$

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三、填空题：本题共3小题，共15分．

12. 已知定义在 $R$ 上的连续函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + e^{x}}$ ，设 $g (x) = f (1 - 2 x)$ ，则 $g^{'} (1) =$ $．$

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13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，过 $A$ 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 $M$ ，延长 $A M$ 交另一条渐近线于 $N$ ，若 $\vec{M N} = 2 \vec{A M}$ ，则双曲线的渐近线方程为．

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14. 一游戏的规则如下：有①②③三个奖池，在开始时三个奖池都处于开启状态，游戏会进行若干轮，每一轮游戏都将等可能地从开启的奖池中随机选择一个并获得对应的奖品，在一个完整游戏流程中：①号奖池或②号奖池会在第二次被选择到后永久关闭，而③号奖池永远保持开启.则当游戏第 $4$ 轮进行完成时，恰有一个奖池关闭的概率为 $．$

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 一个等比数列有3项，如果把第2项加上4，那么得到的数列等差数列；如果再把这个等差数列的第3项加上32，那么得到的数列又成等比数列，求原来的等比数列.

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = \frac{b + a cos C}{1 - cos A}$ ．

(1)、证明： $c = 2 b$ ；

(2)、当角 $B$ 最大时，求角 $A$ 的大小．

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17. 已知函数 $f (x) = x (x - 2) (x - a)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 对称，求 $a$ 的值；

(2)、若 $x = a$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的值；

(3)、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的极值点，且满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $A (0, 1)$ ，右顶点为 $B (2, 0)$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + t (- \sqrt{2} < t < 1)$ 与椭圆 $Γ$ 相交于点 $C$ 、 $D$ （ $A B C D$ 构成凸四边形） $．$

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、设直线 $A D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(3)、用含 $t$ 的代数式表示凸四边形 $A B C D$ 的面积 $S (t)$ ，并求 $S (t)$ 的最大值 $．$

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19. 随机将 $1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 n (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为 $a_{1}$ ，最大数为 $a_{2}$ ；B组最小数为 $b_{1}$ ，最大数为 $b_{2}$ ，记 $ξ = a_{2} - a_{1}, η = b_{2} - b_{1}$
（1）当 $n = 3$ 时，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；
（2）令C表示事件 $ξ$ 与 $η$ 的取值恰好相等，求事件C发生的概率 $p (c)$ ；
（3）对（2）中的事件C， $\bar{c}$ 表示C的对立事件，判断 $p (c)$ 和 $p (\bar{c})$ 的大小关系，并说明理由．

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