广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-17 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}, B = \{x |\sqrt{x} \in A\}$ ，则 $∁_{A} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{1, 4, 9\}$ B、 $\{3, 4, 9\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{2, 3, 5\}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 计算 ${(\frac{9}{4})}^{- \frac{1}{2}} =$ （）

A、 $\frac{81}{16}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= $e^{x}$ -1，则当x<0时，f（x）=（）

A、 $e^{- x}$ -1 B、 $e^{- x}$ +1 C、- $e^{- x}$ -1 D、- $e^{- x}$ +1

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5. 关于x的不等式 $x^{2} - 2 a x - 8 a^{2} < 0 (a > 0)$ 的解集为 $(x_{1} x_{2})$ ，且 $x_{2} - x_{1} = 15$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{15}{2}$

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6. 已知不等式 $(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{a}{y}) \geq 9$ 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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7. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，若实数a满足 $f (2^{|a - 1|}) > f (- \sqrt{2})$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 m x^{2} - 2 (4 - m) x + 1$ ， $g (x) = m x$ ，若对于任意的实数 $x$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 8)$ C、 $(2, 8)$ D、 $(- \infty, 0)$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 下列命题为真命题的是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} \leq 1$ B、 $a^{2} = b^{2}$ 是 $a = b$ 的必要不充分条件 C、集合 ${(x ， y) | y = x^{2}}$ 与集合 ${y | y = x^{2}}$ 表示同一集合 D、设全集为R，若 $A \subseteq B$ ，则 $C_{R} B \subseteq C_{R} A$

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10. 若实数 $m$ ， $n >0$ ，满足 $2 m + n =1$ ，以下选项中正确的有（）

A、 $m n$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{n}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $1+2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{m +1} + \frac{6}{n +2}$ 的最小值为 $\frac{24}{5}$ D、 $4 m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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11. 定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (y) = f (\frac{x - y}{1 - x y})$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) < 0$ ，则有( )

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、存在非零实数a，b，使得 $f (a) + f (b) = f (\frac{1}{2})$ C、 $f (x)$ 为增函数 D、 $f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) > f (\frac{5}{6})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则 $a =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 2, x \geq 0 \\ - \frac{4}{x - 2}, x < 0 \end{matrix}$ ，则不等式 $f (2 x - 4) > f (x^{2} - 3 x)$ 的解集为.

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14. 设函数 $f (x)= \frac{2 x^{2}}{x +1}, g (x)= a x +5−2 a (a >0)$ ，若对任意的 $x_{1} ∈ [0,1]$ ，存 $x_{2} ∈[0,1]$ 使得 $f (x_{1}) ≥ g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围为；若对任意的 $x_{1} ∈[0,1]$ ，存在 $x_{2} ∈[0,1]$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x |2 - a \leq x \leq 2 + a\}$ ， $B = \{x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4\}$ ．
（1）当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；
（2）“ $x \in A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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16. 已知二次函数 $f (x)$ 的图象经过点（2，-6），方程 $f (x) = 0$ 的解集是 ${- 1, 4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) + (3 - 2 m) x$ ，求 $g (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上的最值.

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17. 设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ ．

(1)、若不等式 $y \geq - 2$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，求 $\frac{m^{2} + 2 m + 5}{m + 1}$ 的最小值；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x - 1 < 0 (m \in R)$ ．

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18. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (2, 0)$ ， $B (1, \sqrt{3})$ ，直线 $x = t$ $(0 < t < 2)$ 将 $△ O A B$ 分成两部分，记左侧部分的多边形为 $Ω$ .设 $Ω$ 各边长的平方和为 $f (t)$ ， $Ω$ 各边长的倒数和为 $g (t)$ .
（Ⅰ）分别求函数 $f (t)$ 和 $g (t)$ 的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间 $(a, b)$ ，使得函数 $f (t)$ 和 $g (t)$ 在该区间上均单调递减？若存在，求 $b - a$ 的最大值；若不存在，说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x|, x \in P \\ - x^{2} + 2 x, x \in M \end{array}$ ，其中 $P$ ， $M$ 是非空数集且 $P \cap M = \emptyset$ .设 $f (P) = \{y |y = f (x), x \in P\}$ ， $f (M) = \{y |y = f (x), x \in M\}$ .
（1）若 $P = (- \infty, 0)$ ， $M = [0 ， 4]$ ，求 $f (P) \cup f (M)$ ；
（2）是否存在实数 $a > - 3$ ，使得 $P \cup M = [- 3, a]$ ，且 $f (P) \cup f (M) = [- 3 ， 2 a - 3]$ ？若存在，求出所有满足条件的 $a$ ；若不存在，说明理由；
（3）若 $P \cup M = R$ 且 $0 \in M$ ， $1 \in P$ ， $f (x)$ 单调递增，求集合 $P$ ， $M$ .

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