湘教版数学八年级上册 5.1 直角三角形的性质定理第二课时同步分层练习

试卷更新日期：2025-11-19 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 4$ ，则 $A B$ 等于（　　）

A、2 B、8 C、4 D、6

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2. 如图是某公园的一滑梯侧面图，已知 $∠ A C B = 30 °$ ，滑梯架的高 $A B$ 为 $2 m$ ，则滑梯 $A C$ 长为（）

A、 $4 m$ B、 $5 m$ C、 $6 m$ D、 $7 m$

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3. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 15 °$ ， $D$ 是边 $A C$ 上一点，且 $A D = D B = 4$ ，则边 $B C$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图． $∠ A B C = 150 ° ， B C$ 的长是10，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）

A、 $7.5$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、10 D、5

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5. 在 $R t △ A B C$ 中，若 $∠ B = 90 °$ ， $A C = 10 c m$ ， $A B = 5 c m$ ，则 $∠ A =$ 度．

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6. 三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是cm．

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7. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ B = 30 °$ ，以点A为圆心， $A C$ 为半径作弧，交 $A B$ 边于点D，若 $B D = 3$ ，则 $A C =$ ．

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 75 °$ ，过点 $A$ ，点 $C$ 分别作 $A B$ ， $A C$ 的垂线相交于点 $D$ ，则 $\frac{A B}{A D} =$ ．

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9. 在 $R t △ A B C$ 中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B 和∠A各是多少度? 边AB 与BC之间有什么关系?

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10. 如图， $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，若 $A D = 8$ ，求 $C D$ 的长.

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二、能力提升

11. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为 $3cm$ 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（）

A、 $3cm$ B、 $6cm$ C、 $7cm$ D、 $8cm$

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12. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC ， ∠A＝120°，DE垂直平分AC ，若CD＝2，则BD的长为（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D，过点D作 $D E ⊥ B C$ 于点E，且 $C E = 1.5$ ，则 $A B$ 的长为（　　）

A、3 B、4.5 C、6 D、7.5

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14. 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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15. 如图， $∠ A C D = 90 °$ ， $∠ D = 15 °$ ， B点在 $A D$ 的垂直平分线上，若 $A C = 4$ ，则 $A B$ 为（　　）

A、4 B、6 C、8 D、10

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16. 如图，M，A，N是直线l上的三点， $A M = 3$ ， $A N = 5$ ， P是直线l外一点，且 $∠ P A N = 60 °$ ， $A P = 1$ ，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A、直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B、直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C、等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D、等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形

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17. 如图，已知 $∠ A O B = 60 °$ ，点 $P$ 在边 $O A$ 上， $O P = 8$ ，点M，N在边 $O B$ 上， $P M = P N$ ，若 $M N = 2$ ，求 $O N$ 的长

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18. 如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是cm² ．

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19. 如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $10$ 厘米，双翼的边缘 $A C = B D = 50$ 厘米，且与闸机箱侧立面的夹角 $∠ A C P = ∠ B D Q = 30 °$ ，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为厘米．

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20. 如图所示，在 $Rt Δ A B C$ 中． $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $D$ 、 $E$ ，连接 $B D$ ．若 $A C = 6$ ，则 $A D$ 的长为．

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, ∠ B = 30 °, A C = 2$ ， D为 $B C$ 上一动点， $E F$ 垂直平分 $A D$ 分别交 $A C$ 于E，交 $A B$ 于F，则 $C E + E D + D F + F B =$ ．

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22. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $∠ B = 30 °$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $C E = A C$ ，则 $∠ C D E$ 的大小为．

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23. 如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，连接 $C E$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A D$ 是线段 $C E$ 的垂直平分线；

(2)、若 $∠ B A C = 60 °$ ， $A D = 10$ ，求 $D F$ 的长．

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三、拓展创新

25. 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛 $P$ 的方位是北偏东 $75 °$ ，又继续航行16海里后，在 $B$ 处测得小岛 $P$ 的方位是北偏东 $60 °$ ，求：

(1)、此时轮船与小岛 $P$ 的距离 $B P$ 是多少海里？

(2)、小岛 $P$ 方圆7.5海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．

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26. 如图 $1$ ，点 $P 、 Q$ 分别是边长为 $4 cm$ 的等边 $△ A B C$ 边 $A B 、 B C$ 上的动点，点 $P$ 从顶点 $A$ ，点 $Q$ 从顶点 $B$ 同时出发，且它们的速度都为 $1 cm/s$ ．

(1)、连接 $A Q 、 C P$ 交于点 $M$ ，则在 $P 、 Q$ 运动的过程中， $∠ C M Q$ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

(2)、试求何时 $△ P B Q$ 是直角三角形？

(3)、如图 $2$ ，若点 $P 、 Q$ 在运动到终点后继续在射线 $A B 、 B C$ 上运动，直线 $A Q 、 C P$ 交点为 $M$ ，则 $∠ C M Q$ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

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一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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