湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-15 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 集合 $A = {x |x < 1}$ ， $B = \{x | x^{2} - 2 x < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x |0 < x < 1}$ B、 ${x |- 1 < x < 0}$ C、 ${x |- 1 < x < 2}$ D、 ${x |0 < x < 2}$

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2. 在复平面内，复数 ${(\frac{2 - i}{i})}^{2}$ 对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $a = \log_{5} 2 ， b = \log_{8} 3 ， c = \frac{1}{2}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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4. 已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, |\vec{b}| = 1$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 1$ ， $A = 135 °$ ，则 $\frac{b + c}{\sin B + \sin C}$ 的值为（）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 已知 $\sin α - \cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{1}{\tan α} + \tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 3, & x > 0 \\ 2^{x}, & x \leq 0 \end{array}$ ，则关于 $x$ 方程 $f (x) = a x + 2$ 的根个数不可能是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ， $F (x) = e^{x + 1} f (x + 1)$ 是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且 $(x - 1) [f (x) + f^{'} (x)] > 0$ ，则不等式 $x f (\ln x) < e^{3} f (3)$ 的解集为（）

A、 $(0, e^{3})$ B、 $(\frac{1}{e}, e^{3})$ C、 $(1, e^{3})$ D、 $(e, e^{3})$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）

9. 在下列四个命题中，正确的是（）

A、命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” B、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是5 C、已知集合 $A = \{m + 2, 2 m^{2} + m\}$ ，若 $3 \in A$ ，则m的值为 $- \frac{3}{2}$ D、“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > 1$ ”的必要不充分条件

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10. 将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $(\frac{π}{6}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、当 $x = - \frac{π}{12}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[π, \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 3)$ 内的值域为 $(- 3, 1)$ B、函数 $g (x) = f (x) + \frac{2 - x}{x - 1}$ 的图象为中心对称图形 C、过点 $P (2, - 4)$ 且与 $f (x)$ 图象相切的直线共有三条 D、 $f (x)$ 有三个零点

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 曲线C： $f (x) = e^{x} + \sin x + 1$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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13. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 已知实数 $a, b, c \in (0, 1)$ ，设 $\frac{3}{a} + \frac{1}{1 - b}$ ， $\frac{3}{b} + \frac{1}{1 - c}$ ， $\frac{3}{c} + \frac{1}{1 - a}$ 这三个数的最大值为 $M$ ，则 $M$ 的最小值为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $4 a = \sqrt{5} c ， c o s C = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、若 $b = 11$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1 ， {\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ ，的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2$

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17. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A$ .

(1)、证明： $O A ⊥ B C$ ；

(2)、当 $A O = 1$ 时，求点 $E$ 到直线 $B C$ 的距离.

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18. 已知函数 $f (x) = - \frac{x}{e^{x}}$ ， $g (x) = x ln x - \frac{a}{2} x^{2} - x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 的单调性相同，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若当 $a \in [0, \frac{1}{e})$ 时， $g (x) (x \in (0, e])$ 有最小值 $h (a)$ ，证明： $- \frac{e}{2} < h (a) \leq - 1$ .

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19. 如图双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A, B$ 且 $|A B| = 2$ ，已知双曲线的离心率为2．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程．

(2)、直线 $l$ 与双曲线交于 $P, Q$ 两点且以线段 $P Q$ 为直径的圆恰好经过点 $A$ ．
①证明：直线 $P Q$ 过 $x$ 轴上一定点 $M$ ，请求出点 $M$ 的坐标；
②若 $P, Q$ 都在双曲线的右支，求 $△ A P Q$ 的面积的最小值．

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