湘教版数学八年级上册4.5等腰三角形第三课时同步分层练习

试卷更新日期：2025-11-18 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 等边三角形的对称轴有（）条

A、2 B、3 C、4 D、1

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2. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $3 0^{°}$ B、 $4 5^{°}$ C、 $6 0^{°}$ D、 $9 0^{°}$

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3. 以下三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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4. 下列推理中，不能判断 $△ A B C$ 是等边三角形的是（）

A、 $∠ A = ∠ B = ∠ C$ B、 $A B = A C ， ∠ B = 6 0^{°}$ C、 $∠ A = 6 0^{°} ， ∠ B = 6 0^{°}$ D、 $A B = A C$ ，且 $∠ B = ∠ C$

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5. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、9 B、8 C、6 D、12

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6. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边 $△ A B C$ 上，若 $∠ 1 = 24 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $24 °$ B、 $36 °$ C、 $48 °$ D、 $56 °$

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7. “等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题是，这个逆命题(填“成立”或“不成立”).

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8. 小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是．

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9. 如图，若 $A B = A C = B C = D B$ ，则 $∠ D$ 的度数为．

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10. 如图，点P是等边 $△ A B C$ 内一点， $∠ A C P = ∠ P B C$ ， $∠ B P C =$ °

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11. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $B D$ 为 $△ A B C$ 的高，点E在 $B C$ 延长线上，且 $B D = E D$ ，若 $C E = \frac{3}{2}$ ，则 $B E =$ ．

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12. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形，且 $A C = C E = G D$ ，点G、D、F分别为 $A C 、 C E$ 、 $G D$ 的中点，则 $∠ E =$ 度．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D，E分别在 $B A ， C B$ 的延长线上，且 $A E = C D$ ， $∠ B A E = ∠ A C D$ ．求证： $△ A B C$ 是等边三角形．

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二、能力提升

14. 下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个角是60°的三角形是等边三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（）个。

A、1 B、2 C、3 D、4

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15. 如图， $A D$ 是等边三角形 $A B C$ 的中线，点E在 $A C$ 上， $A E = A D$ ，则 $∠ E D C$ 等于（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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16. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $∠ B D A = 135 °$ ，则 $∠ D B C$ 等于（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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17. 如图，已知 $∠ A B C = 120 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ D A C = 60 °$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，则 $B D$ 的长是( )

A、4.5 B、5 C、5.5 D、6

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18. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形， $A M ∥ C N$ ．若 $∠ B A M = 25 °$ ，则 $∠ B C N =$ （　　）

A、 $65 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $35 °$

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19. 如图， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $A D$ 是等边 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上的中线，F是 $A D$ 边上的动点，E是 $A C$ 边上动点．当 $E F + C F$ 取得最小值时，则 $∠ E C F$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ D、 $25 °$

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20. 如图，在 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 上的一点， $∠ B A D = 28 °$ ，在 $A D$ 的右侧作 $△ A D E$ ，使得 $A E = A D$ ， $∠ D A E = ∠ B A C$ ，连接 $C E$ 、 $D E$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，若 $C E ∥ A B$ ，求 $∠ D O C$ 的度数为（）

A、 $124 °$ B、 $102 °$ C、 $92 °$ D、 $88 °$

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21. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=60°，D 是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD=∠ACE，∠BFD=60°，CE=5，则AF的长为

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22. 如图， $P ， Q$ 是 $△ A B C$ 边上的两点，且 $B P = P Q = Q C = A P = A Q$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为．

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23. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，点 $E$ 在 $A D$ 上，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ，则 $∠ A F E$ 的度数为．

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24. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $B D ⊥ A C$ ， $A E ⊥ B C$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、若 $B E = 6$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、求证： $△ C D E$ 是等边三角形．

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三、拓展创新

25. 如图是由四片门扇连接成的折叠门，轨道装在天花板上，图2是示意图．已知轨道 $A B = 220 cm$ ，在推拉合页C或E时，滚轮D，F在轨道上移动，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．已知每小片门扇宽度均相等，则 $A C = C D = D E = E F =$ cm．刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时， $A C ∥ D E$ ， $∠ A = 60 °$ ，此时门被关上部分 $A F$ 的长是cm；接着继续向右拉门扇，位置如图3时， $∠ C^{'} D^{'} E^{'} = 90 °$ ， $A D^{'} : D^{'} F^{'} = 6 : 8$ ，相比第一次，此时门向右拉伸了cm．

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26. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　　；线段BE与AD之间的数量关系是　　；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

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27. 完成下列各题：

(1)、问题情境   如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，连接 $B D$ ， $C E$ ，求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ．

(2)、迁移应用   如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是 $A D$ 的中点，N是 $A C$ 的中点，P在 $B E$ 上， $△ M N P$ 是等边三角形，求证：P是 $B E$ 的中点．

(3)、拓展创新   如图3，P是线段 $B E$ 的中点， $B E = 7$ ，在 $B E$ 的下方作等边 $△ P F H$ （P，F，H三点按逆时针顺序排列， $△ P F H$ 的大小和位置可以变化），连接 $E F$ ， $B H$ ．当EF+BH的值最小时，直接写出等边 $△ P F H$ 边长的最小值．

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一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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