湘教版数学八年级上册4.5等腰三角形第二课时同步分层练习

试卷更新日期：2025-11-18 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 下列条件中，可以判定 $△ A B C$ 是等腰三角形的是（）

A、 $∠ A = 20 °, ∠ B = 100 °$ B、 $a : b : c = 1 : 1 : 2$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 1 : 2$ D、 $∠ A = ∠ B + ∠ C$

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2. 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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3. 已知三角形的两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是( ).

A、30°，60° B、40°，70° C、50°，60° D、100°，30°

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4. 如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图， $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，若 $∠ A C D = ∠ B + ∠ B C D$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $A C = B C$ B、 $A D = C D$ C、 $A C = C D$ D、 $A D = A C$

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6. 如图， $△ A B C ≌ △ D B E$ ， D点在 $A C$ 边上，若 $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $35 °$ C、 $70 °$ D、 $45 °$

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7. 如图，点D在AB上，AB=AC，AD=DC=BC，则图中的等腰三角形共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无法确定

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，大于 $\frac{1}{2} P Q$ 长度为半径画弧，两弧交于点M，连接 $B M$ 交 $A C$ 于点E，过点E做 $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点D．若 $A B = 6$ ， $A E = 3$ ，则 $△ A D E$ 的周长为．

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9. 如图，已知 $△ A B C ≅ △ D B E, D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，且 $∠ A = ∠ D F B$ ，若 $C F = 2$ ， $A B = 6$ ，则 $B C$ 的长为．

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10. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=70° ，则∠C= 度，△ABC是三角形．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ B A D$ 中， $∠ C B A = ∠ D A B$ ， $∠ C = ∠ D$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点E．求证： $B E = A E$ ．

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二、能力提升

12. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} - b^{2} = c (b - a)$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、不能确定

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13. 如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得 $△ A B C$ 是以 $∠ A B C$ 为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14. 如图，上午10时，一条船从海岛 $A$ 出发，以 $12 nmile/h$ （海里/时， $1 nmile/h = 1852 m$ ）的速度向正北航行，12时到达海岛 $B$ 处．从 $A$ ， $B$ 望灯塔 $C$ ，测得 $∠ N A C = 42 °$ ， $∠ N B C = 84 °$ ．求从海岛 $B$ 到灯塔 $C$ 的距离为（）

A、12海里 B、24海里 C、20海里 D、36海里

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $D$ 为边 $B C$ 上的动点，连接 $A D$ ，作 $C F ⊥ A D$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ．对于下列两个命题的判断： ①当 $A D$ 平分 $∠ C A B$ 时， $C D = B F$ ；②当 $A D$ 为 $B C$ 边上中线时， $A D = C F + D F$ ．正确的是（）

A、都是真命题 B、都是假命题 C、①是真命题②是假命题 D、①是假命题②是真命题

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $E F ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ．若 $A B = 12$ ， $A C = 8$ ， $B C = 14$ ，则 $△ A E F$ 的周长是（）

A、17 B、18 C、20 D、22

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 36 °$ ， D，E分别是线段 $B C 、 A C$ 上的一点，根据下列条件之一，不能确定 $△ A D E$ 是等腰三角形的是（）

A、 $∠ 1 = 2 ∠ 2$ B、 $∠ 1 + ∠ 2 = 72 °$ C、 $∠ 1 + 2 ∠ 2 = 90 °$ D、 $2 ∠ 1 = ∠ 2 + 72 °$

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18. 如图， $D$ 为 $△ A B C$ 内一点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A = ∠ A B D$ ，若 $A C = 10$ ， $B C = 6$ ，则 $B D$ 的长为．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ 并延长交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $∠ F A E = ∠ F E A$ ， $B E = 5$ ， $A F = 1.8$ ，则 $C F$ 的长为．

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20. 如图，B是射线 $A D$ 上动点， $∠ A = 50 °$ ，若 $△ A B C$ 为等腰三角形，则 $∠ C$ 的度数可能是．

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21. 如图， AD∥BC， BD平分∠ABC.求证AB=AD.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 边上的中点，连接 $A D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ C = 36 °$ ，求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、求证： $F B = F E$ ．

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三、拓展创新

23. 如图①， $C A = C B$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B = ∠ D C E = α$ ， $A D ， B E$ 相交于点M，连接 $C M$ ．

(1)、求证： $B E = A D$ ；

(2)、用含 $α$ 的式子表示 $∠ A M B$ 的度数；

(3)、当 $α = 90 °$ 时， $A D ， B E$ 的中点分别为点P，Q，连接 $C P ， C Q ， P Q$ ，如图②，判断 $△ C P Q$ 的形状，并证明．

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24. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1， $△ A B C$ 中，若 $A B = 8$ ， $A C = 6 ，$ 求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到E，使 $D E = A D$ ，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 $△ A D C ≌ △ E D B$ 的理由是                  ．
A． $SSS$                B． $SAS$                     C． $AAS$                        D． $HL$
（2）求得 $A D$ 的取值范围是                   ．
A． $6 < A D < 8$      B． $6 \leq A D \leq 8$           C． $1 < A D < 7$         D． $1 \leq A D \leq 7$
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于E，交 $A D$ 于F，且 $A E = E F$ ，求证： $A C = B F$ ．

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湘教版数学 八年级上册4.5等腰三角形 第二课时 同步分层练习

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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