人教版八（上）数学第十八单元质量检测培优卷

试卷更新日期：2025-11-17 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若 $x$ 是整数，则使分式 $\frac{8 x + 2}{2 x - 1}$ 的值为整数的 $x$ 值有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质.已知m g牛奶中含a g蛋白质，比n g鸡蛋中含的蛋白质少b g，则m g鸡蛋中蛋白质的含量是( )

A、 $\frac{m (a - b)}{n}$ g B、 $\frac{m (a + b)}{n}$ g C、 $\frac{n (a - b)}{m}$ g D、 $\frac{n (a + b)}{m}$ g

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3. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{2 (a + x)}{x - 5} = \frac{3}{x} + 2$ 无解，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{2}$ 或－5 B、0或5 C、 $- \frac{7}{2}$ 或5 D、0或－5

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4. 下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知 ${(x + y)}^{2} = 16$ ， $x y = 2$ ，那么 ${(x - y)}^{2} = 8$ ；④如果把分式 $\frac{3 x}{x + 2 y}$ 中的 $x$ 、 $y$ 都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（）个．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 下面是马小虎的答卷，他的得分应是（）

姓名马小虎得分？
判断题（每小题20分，共100分）
(1)）代数式

\frac{6}{x}, \frac{m + n}{m - n}

是分式.（√)
(2) 当x=-1时，分式

\frac{x}{x + 1}

无意义.（×）
(3)

\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}

不是最简分式.（×)
（4）若分式

\frac{| x | - 2}{x + 2}

的值为0，则x的值为±2.（√)
（5）分式

\frac{y^{2}}{x + y}

中x、y的值均扩大为原来的2倍，分式的值保持不变，（×）

A、40 分 B、60 分 C、80 分 D、100 分

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6. 已知：a，b，c三个数满足： $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + a c}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 已知分式 $\frac{2 x + b}{x - a}$ （a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）
x的取值
2
m
$- 2$
分式的值
0
3
无解

A、 $b = - 4$ ； B、 $a = 2$ ； C、 $m = - 10$ ； D、 $a = - 2$ .

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8. 当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、…、 $\frac{1}{2013}$ 、 $\frac{1}{2014}$ 、 $\frac{1}{2015}$ 时，计算分式 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（）

A、﹣1 B、1 C、0 D、2015

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9. 已知当 $x = - 4$ 时，分式 $\frac{x - b}{2 x + a}$ 无意义；当 $x = 2$ 时，此分式的值为0，则 ${(\frac{2 a}{b})}^{2} \cdot \frac{1}{a - b} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10. 设 $x$ 为正整数，则存在正整数 $a$ 和 $b$ ，使得 $\frac{1 + b - 2 a}{a^{2} - b} = x$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值分别为（）.

A、 $x + 2$ ， $x^{2} + 3 x + 3$ B、 $x + 2$ ， $x^{2} + 2 x + 2$ C、 $x - 2$ ， $x^{2} - 3 x + 3$ D、 $x + 1$ ， $x^{2} + x + 1$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \leq 4 \\ 2 x - a \geq 2 \end{array}$ ，至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．

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12. 已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 $\frac{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}{x y} + \frac{(y^{2} - 1) (z^{2} - 1)}{y z} + \frac{(z^{2} - 1) (x^{2} - 1)}{z x}$ =4.求 $\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}$ 的值为.

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13. 已知 $a^{2} - a b + b^{2} = 0 (a \neq 0 ， b \neq 0)$ ，则式子 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值等于

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14. 已知 $\frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{(x - 1) (x + 1)} = 3 + \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ ，其中A、B为常数，则 $4 A - 2 B$ 的值为.

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15. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的 $a$ ， $b$ 后，按照程序图运行，会输出一个结果．若 $a = 5$ ， $b = x$ 时，输出的结果为2，则 $x$ 的值为．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分.

16. 计算：

(1)、 $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 4 a + 4} \div \frac{a + 1}{a + 2} + \frac{3}{a + 2}$ ．

(2)、 $(\frac{a - 2}{a^{2} + 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} + 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a + 2}$

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17. 已知 $a + b + c = 0$ ，且 $a b c \neq 0$ ，求： $a (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b (\frac{1}{a} + \frac{1}{c}) + c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ 的值.

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18. 先化简，再求值： $\frac{a^{3} - a}{a^{2} + 2 a + 1} \div \frac{a - 1}{2 a + 2} + (1 + \frac{2}{a} - \frac{a + 1}{a - 2}) \cdot \frac{2 a^{3} - 4 a^{2}}{a + 1}$ ，其中a的值在0，1，﹣1，2，5中选出一个合适的值．

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19. 定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ， $\frac{2 x^{2} + 1}{x - 1} = \frac{2 x (x - 1) + 2 x + 1}{x - 1} = 2 x + \frac{2 (x - 1) + 3}{x - 1} = 2 x + 2 + \frac{3}{x - 1}$ ，则 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 和 $\frac{2 x^{2} + 1}{x - 1}$ 都是“和谐分式”．

(1)、下列分式：① $\frac{x + 1}{x}$ ， ② $\frac{x + 3}{x^{2} + 1}$ ， ③ $\frac{y^{2} + 1}{y}$ ，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；

(2)、分式 $\frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ 是否为“和谐分式”，请说明理由；

(3)、当整数 $x$ 取多少时， $\frac{3 x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x}$ 的值为整数？

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20. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．

(1)、求篮球和足球的单价分别是多少元：

(2)、学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于4900元．那么有哪几种购买方案？

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21. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为 $(2 a - 2) m$ ，宽为 $a m$ （ $a > 6$ ）．

(1)、去年实践基地收获 $500 kg$ 蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？

(2)、今年从该基地中截取出一个边长为 $a m$ 的正方形地块，用来种植 $A$ 类蔬菜，而剩余土地用来种植 $B$ 类蔬菜，最终收获 $A$ 类蔬菜 $300 kg$ ， $B$ 类蔬菜 $200 kg$ ．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．

(3)、该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加 $14 m$ ，宽增加 $a m$ ，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数 $a$ 的值．

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22. 因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解 $.$ 如 $a^{2} - 4 a b + b^{2} - 1$ ，我们可以把它先分组再分解： $a^{2} - 4 a b + b^{2} - 1 = (a - 2 b)^{2} - 1 = (a - 2 b + 1) (a - 2 b - 1)$ ，这种方法叫做分组分解法．
已知 $A = 4 a^{2} - b^{2} + 2 a - b$ ， $B = 4 a^{2} + 4 a - b^{2} + 1 .$ 请利用以上方法解决下列问题：

(1)、分别把多项式 $A$ 和 $B$ 分解因式；

(2)、已知 $a$ ， $b$ 分别为等腰 $△ A B C$ 的腰和底边，试比较分式 $\frac{B}{A}$ 与 $1$ 的大小．

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23. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
【阅读材料】在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： $\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x - 1 + 4}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{4}{x - 1} = 1 + \frac{4}{x - 1}$ ，这样，分式就拆分成一个整数1与一个分式 $\frac{4}{x - 1}$ 的和的形式；
又如： $\frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = \frac{x (x - 1) + x - 2 x + 3}{x - 1} = x + \frac{- (x - 1) + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{2}{x - 1}$ ，这样，分式就拆分成一个整式 $x - 1$ 与一个分式 $\frac{2}{x - 1}$ 的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【理解知识】（1）把分式 $\frac{x + 2025}{x + 2024}$ 拆分成一个整数与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______；
【掌握知识】（2）请你把分式 $\frac{x^{2} + 6 x - 3}{x - 1}$ 拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式；
【运用知识】（3）若分式 $\frac{m^{4} - 4 m^{3} + 6 m^{2} - 4 m + 3}{m - 1}$ 的值为正整数，求整数 $m$ 的值．

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x的取值	2	m	$- 2$
分式的值	0	3	无解