5.2《二元一次方程组的解法》（2）---北师大版数学八年级上册课堂分层训练

试卷更新日期：2025-11-16 类型：同步测试

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一、基础应用

1. 下列方程组中，解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$ 的是（　　）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = - 1 \\ x - y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x \\ x - 2 y = - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 0 \\ x - y = 6 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y + 5 = 3 \end{array}$

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2. 以方程 $\{\begin{array}{l} x - 2 y = 3 \\ x + y = 0 \end{array}$ 的解为坐标的点 $P (x, y)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 用加减法解方程组 $2 a + 2 b = 3 ①$ ， $3 a + b = 4 ②$ ，最简单的方法是（）

A、 $① \times 3 - ② \times 2$ B、 $① \times 3 + ② \times 2$ C、 $① + ② \times 2$ D、 $② \times 2 - ①$

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4. 用加减法解方程组 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 7 ① \\ 6 x - 5 y = - 1 ② \end{array}$ 时，若要求消去 $y$ ，则应（）

A、 $① \times 3 + ② \times 2$ B、 $① \times 3 - ② \times 2$ C、 $① \times 5 + ② \times 3$ D、 $① \times 5 - ② \times 3$

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5. 已知方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 6 \\ 3 x - 2 y = - 2 \end{matrix}$ ，则 $x - 5 y =$ ．

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6. 方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 15 ① \\ 2 x - 4 y = 10 ② \end{array}$ 的解是：．

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7. 若关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x - 3 y = k \\ y - 3 x = 3 \end{array}$ 的解满足 $x + y = - 1$ ，则k的值为．

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8. 解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 5 x + 2 y = 2 \\ \begin{matrix} 3 x + 4 y = - 3 \end{matrix} \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 3 \\ 5 x + 2 y = 15 \end{matrix}$

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9. 解方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 15 \\ 5 x - 2 y = 14 \end{array}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 7 \\ \frac{x - 2 y}{3} - \frac{2 y - 1}{2} = 1 \end{array}$ ．

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10. 解方程组：

(1)、 ${\begin{cases} 3 x - y = 7 \\ x + 3 y = - 1 \end{cases}$

(2)、 ${\begin{cases} \frac{x - 1}{6} - \frac{2 - y}{3} = 1 \\ 2 x + y = 13 \end{cases}$

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二、能力提升

11. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 5 - a \\ x - y = 2 a - 1 \end{array}$ ，给出下列结论：
①当 $a = 0$ 时，方程组的解也是 $2 x + y = 3$ 的解．②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：其中正确的个数是（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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12. 两位同学在解方程组 $\{\begin{cases} a x + b y = 2 \\ c x + 7 y = 3 \end{cases}$ 时，甲同学正确地解出 $\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 \end{matrix}$ ，乙同学因把c抄错了解得 $\{\begin{matrix} x = - 3 \\ y = - 2 \end{matrix}$ ，则a，b，c正确的值应为（）

A、 $a = - 3, b = - 1, c = - 5$ B、 $a = 1, b = - 1, c = - 10$ C、 $a = 2, b = - 4, c = - 10$ D、 $a = 3, b = 1, c = - 10$

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13. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 5 \\ a x + 3 y = - 1 \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} x - y = 1 \\ 4 x + b y = 11 \end{array}$ 有相同的解，则 $a$ 和 $b$ 的值为（）

A、 ${\begin{array}{l} a = 4 \\ b = - 6 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} a = - 4 \\ b = 6 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} a = 2 \\ b = - 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} a = - 2 \\ b = 3 \end{array}$

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14. 若关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{cases} 2 x + y = 4 k \\ x - y = k \end{cases}$ 的解也是x+2y＝12的解，则k的值为．

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15. 若关于x、y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = a \\ 2 x + y = 1 - 2 a \end{array}$ 的解互为相反数，则a的值是.

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16. 新运算符号“※”定义如下： $x$ ※ $y = a x - b y$ ．已知1※1=1，（-1）※（-2）=2024，则2※（-2）= ．

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17. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (x, y)$ 变换为 $P (k x + b, b y + k)$ （ $k 、 b$ 为常数），我们把这种变换称为“ $S S$ 变换”．已知点 $A (2, 1), B (m, 2 n), C (m + 3, 2 n)$ 经过“ $S S$ 变换”的对应点分别是 $D (5, 3)$ ， $E, F$ ．若 $S_{三角形 A E F} = 4$ ，则 $k + b =$ ， $n =$ ．

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18. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x - 5 y = - 3 \\ - 4 x + y = - 3 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) = 5 + y \\ 5 (y - 1) = 3 (x + 5) \end{array}$

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19. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ x - y = - 1 \end{array}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 \\ 3 x + 4 y = 2 \end{array}$ ．

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20. 计算：

(1)、 $\{\begin{matrix} 2 x - y = - 1 \\ 4 x + y = 7 \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} x + 4 y = 14 \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12} \end{array}$

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三、综合拓展

21. 阅读下述材料，再按要求解答．
如果一个关于x、y的一次方程可化为形如： $a x + b y + 1 = 0$ （a，b都是不为0的常数）的形式，并且满足 $a + b = 1$ ，那么我们就把这个一次方程叫做具有“1性质”的方程．

(1)、若关于x，y的方程 $a x + \frac{7}{6} y + 1 = 0$ 是具有“1性质”的方程，则a的值为______．

(2)、若关于x，y的方程 $\frac{m - n}{2} x - (m + n) y = 1$ 是具有“1性质”的方程，且 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是该方程的一个解，试求m，n的值．

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22. 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组 $\{\begin{array}{l} 21 x + 22 y = 23 ① \\ 24 x + 25 y = 26 ② \end{array}$ 时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解： $② - ①$ 得， $3 x + 3 y = 3$ ，所以 $x + y = 1$ ③，将③ $\times 21$ ，得 $21 x + 21 y = 21$ ④，
$① - ④$ ，得 $y = 2$ ，从而可得 $x = - 1$ ，所以原方程组的解为 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ ．

(1)、请你用上述方法解方程组 $\{\begin{array}{l} 2024 x + 2022 y = 2020 ① \\ 2018 x + 2016 y = 2014 ② \end{array}$ ．

(2)、猜想：关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} a x + (a + d) y = a + 2 d ① \\ (a + 3 d) x + (a + 4 d) y = a + 5 d ② \end{array}$ （ $a, d$ 是常数， $d \neq 0$ ）的解，并说明理由．

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23. 关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足 $x - y = 1$ ，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题：

(1)、方程组 $\{\begin{matrix} y = 2 x - 4 \\ 3 x + 2 y = 13 \end{matrix}$ 的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由；

(2)、方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 5 k + 1 \\ x + 2 y = 4 k + 2 \end{matrix}$ 的解x与y具有“邻好关系”，求k的值．

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