18.3分式的加法与减法（三阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试

试卷更新日期：2025-11-14 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $a b c = 1$ ， $a + b + c = 2$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ ，则 $\frac{1}{a b + c - 1} + \frac{1}{b c + a - 1} + \frac{1}{c a + b - 1}$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 已知 $y_{1} = \frac{1}{x - 1}$ ， $y_{2} = \frac{1}{1 - y_{1}}$ ， $y_{3} = \frac{1}{1 - y_{2}}$ ， $y_{4} = \frac{1}{1 - y_{3}}$ ， …， $y_{n} = \frac{1}{1 - y_{n - 1}}$ ，则y₂₀₂₁=（）

A、 $\frac{x - 1}{x - 2}$ B、2-x C、 $\frac{1}{x - 1}$ D、1

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3. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正数，且满足 $a + b + c = 1$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = 5$ ，那么 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 当分别取“-2015，-2014，-2013，…，-2-1，0，1， $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{2013}, \frac{1}{2014}$ ， $\frac{1}{2015}$ 时，计算分式 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（），

A、2015 B、1 C、0 D、-1

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5. 甲、乙两个工程队分别承担一条 $10 k m$ 公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路 $x km$ ，另一半时间每天维修 $y km$ ；乙队维修前 $5 k m$ 公路时，每天维修 $x km$ ，维修后 $5 k m$ 公路时，每天维修 $y km(x \neq y)$ ，那么( )

A、甲队先完成任务
B、乙队先完成任务
C、甲、乙两队同时完成任务
D、不能确定哪个队先完成任务

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6. 对于任意的 $x$ 值都有 $\frac{2 x + 7}{x^{2} + x - 2} = \frac{M}{x + 2} + \frac{N}{x - 1}$ ，则 $M ， N$ 的值为（）

A、 $M = 1 ， N = 3$
B、 $M = - 1 ， N = 3$
C、 $M = 2 ， N = 4$
D、 $M = 1 ， N = 4$

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7. 如图，若x为正整数，则表示 $\frac{（ x + 2 ）^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{1}{x + 1}$ 的值的点可能落在（）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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8. 若 $p = \frac{1}{n (n + 2)} + \frac{1}{(n + 2) (n + 4)} + \frac{1}{(n + 4) (n + 6)} + \frac{1}{(n + 6) (n + 8)} + \frac{1}{(n + 8) (n + 10)}$ ，则使p最接近 $\frac{1}{10}$ 的正整数n是（　）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

9. 若 $\frac{a}{b + c} = \frac{b}{c + a} = \frac{c}{a + b}$ ，则 $\frac{2 a + 2 b + c}{a + b - 3 c}$ 的值为．

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10. 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
$\frac{a^{r}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{r}}{(b - c) (b - a)} + \frac{c^{r}}{(c - a) (c - b)} = {\begin{cases} p ， & r = 0 时 \\ 0 ， & r = 1 时 \\ 1 ， & r = 2 时 \\ a + b + c ， & r = 3 时 \end{cases}$

（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．

(1)、当 $r = 0$ 时，常数p的值为．

(2)、利用欧拉公式计算： $\frac{202 2^{3}}{2} - 202 1^{3} + \frac{202 0^{3}}{2} =$ ．

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11. 已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 $\frac{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}{x y} + \frac{(y^{2} - 1) (z^{2} - 1)}{y z} + \frac{(z^{2} - 1) (x^{2} - 1)}{z x}$ =4.求 $\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}$ 的值为.

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12. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，则 $a b = 1$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ ， $\dots$ ， $S_{12} = \frac{1}{1 + a^{12}} + \frac{1}{1 + b^{12}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots \dots + S_{12} =$ ．

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13. 若 $\frac{1}{（ 2 n - 1 ）（ 2 n + 1 ）} = \frac{a}{2 n - 1} + \frac{b}{2 n + 1}$ 对任意自然数n都成立，则a= ， b= ．

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14. 已知实数a，b，c满足不等式： $| a | \geq | b + c |, | b | \geq | a + c |, | c | \geq | a + b |$ ，则 $\frac{a (a + b c)}{b c} + \frac{b (b + a c)}{a c} + \frac{c (c + a b)}{a b}$ 的值为．

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三、解答题

15. 类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用．
【特例感知】
观察下列等式： $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ．
（1）根据上述特征，计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} =$            ．
【尝试类比】
（2）已知一次函数 $y = - \frac{m + 2}{m} x + \frac{2}{m}$ （ $m$ 为正整数）与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，设 $Rt △ A O B$ 的面积为 $S_{m}$ ．
① $S_{2} =$           ；
②求 $S_{2} + S_{4} + S_{6} + \cdot \cdot \cdot + S_{2024}$ 的值．
【类比迁移】
（3）计算： $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n} =$            ．

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16. 已知正数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $m$ ， $n$ 满足 $m + 3 n = \frac{b}{a}$ ， $m n = \frac{c}{a}$ ．

(1)、当 $b = 4$ ， $c = 2$ 时，请用含 $m$ 的式子表示 $n$ ；

(2)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $b^{2} - 12 a c = 0$ ；
①求证： $m = 3 n$ ；
②若 $\frac{1}{n} + \frac{3}{m} > \frac{a}{b} + 1$ ，求 $n$ 的取值范围．

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