河北省邯郸市冀南新区凌云中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-01 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 给出下列关系：① $|- 2| \notin N^{*}$ ；② $0 \notin Z$ ；③ $\sqrt{2} \in Q$ ；④ $- \frac{3}{2} \in R$ ，其中错误的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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2. 已知集合 $A = {x \in Z | - 3 < x < 0}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 2, 3\}$ ，则（）

A、 $0 \in A$ B、 $2 \notin B$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B ⫋ A$

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3. 已知集合 $A = \{x |- 2 < x \leq 2\}$ ， $B = \{x |- 1 < x \leq 1\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = A$ B、 $B \subseteq ∁_{R} A$ C、 $A \cap ∁_{R} B = \emptyset$ D、 $A \cup ∁_{R} B = R$

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4. “ $a > b$ ”是“ $\frac{b}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 下列命题中为真命题的是（）

A、 $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + 1 < 0$ B、 $\exists x \in N^{*}$ ，使得 $4 x < 3$ C、 $\forall x \in R, |x| \geq 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} \in Q$

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6. 已知 $a, b, c \in R$ 且 $a > b$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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7. 若正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = x y$ ，则 $2 x + 8 y$ 的最小值是（）

A、8+ $4 \sqrt{3}$ B、18 C、16 D、14

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8. 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店内购买 $20 g$ 黄金，店员先将 $10 g$ 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡：再将 $10 g$ 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金质量（）

A、大于 $20 g$ B、等于 $20 g$ C、小于 $20 g$ D、不确定

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 已知非空集合 $A, B, C$ 都是 $R$ 的子集，满足 $B \subseteq A$ ， $A \cap C = \emptyset$ ，则（）

A、 $A \cup B = A$ B、 $A \cap B = B$ C、 $B \cap C = B$ D、 $B \cap (∁_{R} C) = B$

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10. 若集合 $A = \{x| x = k π + \frac{π}{2}, k \in Z\}$ ， $B = \{x| x = 2 k π + \frac{π}{2}, k \in Z\}$ ， $C = \{x | x = 2 k π - \frac{π}{2}, k \in Z\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $B \cap C = \emptyset$ B、 $A \cap B = B$ C、 $A \cup C = C$ D、 $B \cup C = A$

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11. 下列命题正确的是（）

A、 $m < 0$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正一负根的充要条件 B、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - k x + k - 1 < 0$ 对一切 $1 < x < 2$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是 $k < 3$ C、若关于 $x$ 的不等式 $a x - b > 0$ 的解集是 $\{x | x > 1\}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + b}{x - 2} > 0$ 的解集是 $\{x| x > 2$ 或 $x < - 1\}$ D、若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知集合 $A = {x | 3 \leq x < 7}$ ， $B = {x | 2 < x < 10}$ ，则 $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B) =$ ．

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13. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $- 2 < a < b < 3$ ，则 $a - b$ 的取值范围是.

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14. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 2$ ，则 $a b + 2 a + b$ 的最小值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 解下列不等式

(1)、 $x (x + 2) > x (3 - x) + 1$ ；

(2)、 $- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 5 > 0$ ；

(3)、 $\frac{x + 2}{3 x - 1} \geq 1$ .

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16. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | 2 - m \leq x \leq 1 + 2 m}$ ， $U = R$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = 2 x^{2} - a x + 1 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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18. 若关于x的不等式 $(1 - a) x^{2} - 4 x + 6 > 0$ 的解集是 ${x ∣ - 3 < x < 1}$ ．

(1)、解关于x的不等式 $2 x^{2} + (2 - a) x - a > 0$ ；

(2)、若关于x的不等式 $b x^{2} + a b x + 3 > 0$ 的解集为 $R$ ，求实数b的取值范围．

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19. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本： $(10 x + \frac{x^{2}}{10})$ 万元．x为每月生产人形机器人的个数．

(1)、该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？

(2)、若每个人形机器人的售价为 $(23 + \frac{x}{5})$ 万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？
附：利润=售价×销量-成本．

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