浙江省上虞中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

试卷更新日期：2025-10-22 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在空间直角坐标系中，点 $P (- 1, 2, - 3)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(1, 2, - 3)$ B、 $(- 1, - 2, - 3)$ C、 $(- 1, 2, 3)$ D、 $(1, - 2, - 3)$

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2. 直线l： $\sqrt{3}$ x+y﹣3＝0的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、90°

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3. 设向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ 不共面，已知 $\vec{A B} = - 3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{3}}, \vec{B C} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{3}}$ ， $\vec{C D} = 4 \vec{e_{1}} + \vec{2 e_{2}} + 8 \vec{e_{3}}$ ，若 $A, C, D$ 三点共线，则 $λ =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 过点 $(- 3, 0)$ 和 $(0, 4)$ ，的直线的一般式方程为（）

A、 $4 x + 3 y + 12 = 0$ B、 $4 x + 3 y - 12 = 0$ C、 $4 x - 3 y + 12 = 0$ D、 $4 x - 3 y - 12 = 0$

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5. 已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 0, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{2}, 0, \frac{\sqrt{10}}{2})$ B、 $(\frac{10}{3}, - \frac{10}{3}, - \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{3}{2}, 0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{10}{9}, - \frac{10}{9}, - \frac{5}{9})$

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6. 已知点A $(2, - 3) ，$ B $(- 3, - 2) ，$ 斜率为k的直线l过点P $(1, 1) ，$ 则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（）

A、 $(- \infty, - 4]$ B、 $[\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- 4, \frac{3}{4}]$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$

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7. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中， $\vec{O A} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, 1, 2)$ ， $\vec{O P} = (2, 1, 1)$ ，点 $Q$ 在直线 $O P$ 上运动，则 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ，点 $P$ 是边 $A B$ 上异于端点的一点，光线从点 $P$ 出发经 $B C$ ， $C A$ 边反射后又回到点 $P$ ，若光线 $Q R$ 经过 $△ A B C$ 的重心，则 $△ P Q R$ 的周长等于（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x - y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $x - a y + 2 = 0$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时，两直线的交点为 $(- 2, 2)$ B、直线 $l_{1}$ 恒过点 $(0, - 2)$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ D、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = 1$ 或 $a = - 1$

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10. 如图，在棱长均为2的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{°}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $B D_{1}$ 长为 $2 \sqrt{3}$ B、异面直线 $A C$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $A_{1} C ⊥ B_{1} D_{1}$ D、 $A A_{1} ⊥ B D$

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11. 定义点 $P (x_{0}, y_{0})$ 到直线 $l : a x + b y + c = 0 (a^{2} + b^{2} \neq 0)$ 的有向距离为 $d = \frac{a x_{0} + b y_{0} + c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .已知点 $P_{1}, P_{2}$ 到直线 $l$ 的有向距离分别是 $d_{1}, d_{2}$ 以下命题不正确的是（）

A、若 $d_{1} = d_{2} = 1$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 平行 B、若 $d_{1} = 1, d_{2} = - 1$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 垂直 C、若 $d_{1} + d_{2} = 0$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 垂直 D、若 $d_{1} d_{2} \leq 0$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 相交

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$

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13. 若直线m被两平行直线 $l_{1} : x - \sqrt{3} y + \sqrt{3} = 0$ 与 $l_{2} : x - \sqrt{3} y + 3 \sqrt{3} = 0$ 所截得的线段长为 $\sqrt{6}$ ，则直线m的倾斜角大小为.

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14. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{P F} = \vec{F D}, \vec{P E} = 2 \vec{E B}$ ，设平面 $A E F$ 与直线 $P C$ 交于点 $G, \vec{P G} = λ \vec{G C}$ ，则 $λ =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. $△ A B C$ 中，顶点 $B (3, 2)$ ， $C (- 3, 4)$ ，求：

(1)、边 $B C$ 所在直线的方程；

(2)、边 $B C$ 的垂直平分线的方程.

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16. 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ，并求EF的长；

(2)、求 $\vec{E F}$ 与 $\vec{G H}$ 夹角的大小．

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17. 已知空间中三点 $A (- 1, 1, 1)$ ， $B (0, 2, 1)$ ， $C (- 2, 1, 3)$ ．

(1)、设 $|\vec{c}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{A B}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A C = A D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{3 π}{4}$ ，如图2，把 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，使点 $D$ 到达点 $P$ 处，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Q$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ B Q$ ；

(2)、求二面角 $A - B Q - P$ 的余弦值；

(3)、判断线段 $A P$ 上是否存在点 $M$ ，使得三棱锥 $M - A B Q$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ ．若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 如图，圆台 $O_{1} O_{2}$ 的一个轴截面为等腰梯形 $A_{1} A C C_{1}, A C = 2 A A_{1} = 2 A_{1} C_{1} = 4$ ， $B$ 为底面圆周上异于 $A$ 、 $C$ 的点．

(1)、求该圆台的侧面积 $S$ ；

(2)、若 $P$ 是线段 $B C$ 的中点，求证：直线 $C_{1} P / /$ 平面 $A_{1} A B$ ；

(3)、若 $A B = B C$ ，设直线 $l$ 为平面 $A_{1} A B$ 与平面 $C_{1} C B$ 的交线，设 $l \cap$ 平面 $A A_{1} C_{1} C = D$ ，点 $Q$ 在线段 $B D$ 上（不含端点），直线 $B C_{1}$ 与平面 $Q A C$ 所成的角大小为 $α$ ，求 $\sin α$ 的最大值．

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