广西壮族自治区来宾市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-10-28 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 命题“ $\forall x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ B、 $\exists x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ D、 $\exists x \notin [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$

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2. 若集合 $A = \{x - 3, x - 6, 4\}$ ，且 $7 \in A$ ，则 $x =$ （）

A、10或13 B、13 C、4或7 D、7

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} + {(x - 1)}^{0}$ 的定义域为（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $[- 2, 1) \cup (1, 2]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 2, - 1) \cup (1, 2]$

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4. $a = b$ 是 $a^{2} = b^{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下列四组函数中表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}, g (x) = x + 1$ B、 $f (x) = x^{2}, g (x) = {(x + 1)}^{2}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = |x|$ D、 $f (x) = 0, g (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 3, x \geq 0 \\ - x + 2, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 4$ D、4

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = 2 x + 1$ ．若 $f (a) = 5$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、3 D、0

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8. 若两个正实数 $x, y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ 且存在这样的 $x, y$ 使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} + 3 m$ 有解，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 1, 4)$ B、 $(- 4, 1)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (0, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的有（）

A、已知 $f (x) = x^{2} + x - 1$ ，则 $f (x + 1) = x^{2} + 3 x + 1$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4, x \leq 0 \\ x - 4, x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (0)] = 4$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$ 是同一函数

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10. 下列命题中是真命题的有（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} > x - 1$ B、 $\exists x > 0, x^{2} = x$ C、“ $x < 0$ ”是“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”的充分不必要条件 D、“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件

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11. （多选）已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < - 2$ 或 $x > 3}$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x | x < - 6}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12. 用列举法表示集合 $\{\frac{2}{x - 1} \in Z | x \in N\}$ = ．

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13. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则xy的最大值为.

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{a x^{2} - a x + 1}$ 的定义域是 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x| 2 < x < 6\}$ ，集合 $B = \{x| 2 m < x < 2 - m\}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数m的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x^{2} - 4$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 1, 2]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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17. 销售甲、乙两种商品所得利润分别是 $y_{1}, y_{2}$ 万元，它们与投入资金 $x$ 万元的关系分别为 $y_{1} = m \sqrt{x + 1} + a$ ， $y_{2} = b x$ （其中 $m, a, b$ 都为常数），函数 $y_{1}, y_{2}$ 对应的曲线 $C_{1}, C_{2}$ 如图所示．

(1)、求函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的解析式；

(2)、若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 1$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x > 0 \\ 2 - x, x < 0 \end{array}$ .

(1)、求 $f (g (2))$ 和 $g (f (2))$ 的值；

(2)、求 $g (x)$ 的值域；

(3)、求不等式 $f (g (x)) > 3$ 的解集.

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19. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R)$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[0, \frac{1}{2}]$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数 $a \in [- 1, 1]$ 时恒成立，求 $x$ 的取值范围；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < a - 1$ .

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