2.4 用因式分解法求解一元二次方程-北师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-11-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ 的根，则该三角形的面积是（）

A、 $10$ B、4或 $10$ C、8或 $10$ D、4

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2. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 $x^{2} - 12 x + 35 = 0$ 的根，则该三角形的周长为（）

A、14 B、12 C、12或14 D、以上都不对

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3. 已知 $x = 1$ 是一元二次方程 $(2 m + 2) x^{2} + x - m^{2} = 0$ 的一个根，则m的值为（）

A、 $- 1$ B、3或 $- 1$ C、3 D、 $- 3$ 或1

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4. 定义一种新运算 $a \otimes b = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ，其中 $a > 0 ， b > 0$ ，当 $x \otimes (x - 3) = 2$ 时， $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、4 C、4和 $- 1$ D、3

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5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k + 3) x^{2} + 5 x + k^{2} + 2 k - 3 = 0$ 的一个根是 $0$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 3$ 或 $1$ B、 $1$ C、 $- 3$ D、 $- 1$

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6. 定义：已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，且 $1 \leq \frac{x_{1}}{x_{2}} \leq 3$ ，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程 $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ 的两根为 $x_{1} = - 5 ， x_{2} = - 3$ ，且 $1 \leq \frac{- 5}{- 3} \leq 3$ ，所以一元二次方程 $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ 为“友好方程”．关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (1 - p) x - p = 0$ ，有下列两个结论：①当 $p = - \frac{2}{3}$ 时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有 $2$ 个整数 $p$ 满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　）

A、①②都正确 B、①②都错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

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二、填空题

7. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的解是；

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8. 一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是.

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9. 已知一元二次方程 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长．

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10. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 $x^{2} = 4$ 和 $(x - 2) (x + 3) = 0$ 有且仅有一个相同的实数根 $x = 2$ ，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的参数同时满足 $a + b + c = 0$ 和 $4 a + 2 b + c = 0$ ，且该方程与 $(x + 2) (x - n) = 0$ 互为“同伴方程”，则 $n =$ ．

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P的坐标为 $(m, n)$ ，称关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 为点P的对应方程．如图，点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (1, 1)$ ，点 $C (- 2, 2)$ ．

给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点 $P (m, n)$ （ $m, n$ 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段 $B C$ 上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是．

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三、计算题

12. 解方程

(1)、 $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ．

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13. 解下列一元二次方程．

(1)、 $x^{2} - 2 x = 8$ ；

(2)、 $2 x^{2} - x - 2 = 2 x - 1$ ．

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四、解答题

14. 解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程

3 (x - 3) = {(x - 3)}^{2}

的过程如下：

嘉嘉：

两边同除以 $(x - 3)$ ，得

$3 = x - 3$ ，

则 $x = 6$ ．

淇淇：

移项，得 $3 (x - 3) - {(x - 3)}^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$ ．

则 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - x = 0$ ，

解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 0$ ．

(1)、嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”）

(2)、请你选择合适的方法尝试解一元二次方程

4 x (2 x + 1) = 3 (2 x + 1)

．

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15. 数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足 $a^{2} + 2 a = b + 2, b^{2} + 2 b = a + 2,$ 求代数式 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值.
结合他们的对话，请解答下列问题：

(1)、当a=b时，a 的值是.

(2)、当a≠b时，代数式 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值是.

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16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c) x^{2} + 2 b x + a - c = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 三边的长．

(1)、若该方程有两个相等的实数根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $△ A B C$ 是等边三角形，请求出该方程的实数根．

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17. 关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ 如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．

(1)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x - n = 0 (m n \neq 0)$ 是“倍根方程”，请用含m的式子表示n；

(2)、若关于x的一元二次方程 $(x - 2 a) (x - b) = 0 (a b \neq 0)$ 是“倍根方程”，两根之和为3，求代数式 $2 a - b$ 的值．

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18. 阅读下列材料，完成相应的任务：

课堂上，老师让同学们复习一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：

小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为 $(m x + n) (p x + q) = 0$ 的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程 $m x + n = 0$ 或

$p x + q = 0$ ，依据是____，进而得到原方程的根为 $x_{1} = \frac{n}{m}$ ， $x_{2} = - \frac{q}{p}$ .

小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，那么，能否运用一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，将多项式 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 分解因式呢?

小颖：可以!例如 $a = 1$ 时，如果方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，逆推回去可得两个一元一次方程是 $x - x_{1} = 0$ 或 $x - x_{2} = 0$ ，则原方程即可表示为 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，这样就可得到多项式 $x^{2} + b x + c$ 分解因式的结果为 $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ !

例如：已知方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ ，则 $x^{2} - 2 x - 3$ 分解因式为 $(x - 3) (x + 1)$ ；

已知方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .则 $x^{2} - x - 1 = 0$ 分解因式为 $(x_{1} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) (x_{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

任务：

(1)、上述材料中“▲”处的依据为(填写字母序号即可)；

$A$ ：若 $a = 0$ 或 $b = 0$ ，则 $a b = 0$ .

$B$ ：若 $a b = 0$ ，则 $a = 0$ 或 $b = 0$ .

(2)、已知方程

x^{2} - 5 x + 6 = 0

的两个根为

x_{1} = 2

，

x_{2} = 3

，则多项式

x^{2} - 5 x + 6

分解因式的结果为；

(3)、请从下面

A

，

B

两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.

$A$ ：根据材料中的思路，直接写出多项式 $x^{2} - 6 x + 2$ 分解因式的结果.