特殊三角形之三线合一的拓展运用-浙教版数学八年级上册培优训练

试卷更新日期：2025-11-06 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C, ∠ B = 3 0^{°}, D$ 为AB的中点， $P$ 为CD上一点， $E$ 为BC延长线上一点，且 $P A = P E$ .有下列结论：① $∠ C A D = 3 0^{°}$ ；② $∠ P A D + ∠ P E C = 3 0^{°}$ ；③ $△ P A E$ 为等边三角形；④ $C E = C P + 2 P D$ .其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，在△ABC中，AC＝1，AC边上的中线 $B D ＝ \sqrt{2}$ 。过点A作AE⊥BC于点E，记BE长为x，BC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、x+y B、x-y C、xy D、x²+y²

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二、填空题

3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在 $△ A B C$ 内， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，连接 $C D$ ，把 $△ A D C$ 沿 $C D$ 折叠， $A C$ 落在 $C E$ 处，交 $A B$ 于F，恰有 $C E ⊥ A B$ ．若 $B C = 14$ ， $A D = 17$ ，则 $E F =$ ．

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4. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A - B - C$ 运动到点 $C$ ，速度为 $2 c m / s$ ，其中 $B P$ 的长与运动时间 $t$ 的关系如图②．则 $△ A B C$ 的面积为 $c m^{2}$ ．

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5. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE，若F是DE的中点，连结AF，当CF取最小值时， △ACF的周长为。

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是AC边上一点，且 $A B = A D = D C = \sqrt{29}$ ，连结BD并延长至点 $E$ ，使 $\frac{D E}{B D} = \frac{3}{4}$ ，连结AE，若 $∠ E = 4 5^{°}$ ，则 $D E =$ ， $B C =$ .

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7. 如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上， $A C = a$ ， $B D = b$ ．以 $A C$ 为底向下作等腰直角三角形 $A C E$ ，以 $B D$ 为底向上作等腰三角形 $B D F$ ，且 $F B = F D = \frac{5}{6} B D$ ．当 $a = 3 \sqrt{2}, b = 6$ 时， $△ A E C$ 和 $△ B F D$ 的面积和是．连结 $A F$ ， $D E$ ，当 $B C$ 的长度变化时， $△ A B F$ 与 $△ C D E$ 的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是．

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三、解答题

8. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 cm$ ， $B C = 3 cm$ ，点 $E$ 是 $C D$ 边上的一点，且 $D E = 1 cm$ ，动点 $P$ 从 $A$ 点出发，以 $1 cm / s$ 的速度沿 $A \to B \to C \to E$ 运动，最终到达点 $E$ ．设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒．

(1)、当 $t = 5$ 时， $A P$ 长为_____．当点 $P$ 在线段 $C E$ 上时，用含 $t$ 的代数式表示 $A P$ 长为_____．

(2)、当 $△ A P E$ 的面积等于 $3 {cm}^{2}$ 时，请求出 $t$ 的值．

(3)、在运动过程中，当 $△ A P E$ 是等腰三角形时，请求出 $t$ 的值．

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9. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1） $△ A B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点， $P$ 是射线 $M A$ 上的点，设 $\frac{A P}{P M} = k$ ．若 $∠ B P C = 90 °$ ，则称 $k$ 为勾股比．

(1)、如图（1），过 $B$ 、 $C$ 分别作中线 $A M$ 的垂线，垂足为 $E$ 、 $D$ ．求证： $C D = B E$ ．

(2)、①如图（2），当 $k = 1$ ，且 $A B = A C$ 时， $A B^{2} + A C^{2} =$ $B C^{2}$ （填一个恰当的数）．
②如图（1），当 $k = 1$ ， $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A B \neq A C$ 时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．

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10. 如图1，等腰三角形 $A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $A D = D E$ ，连结 $A E$ ．

(1)、求证： $△ A D E$ 是等腰直角三角形．

(2)、如图2，过点 $B$ 作 $A C$ 的垂线交 $A E$ 于点 $P$ ，试判断 $△ A B P$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图3，在（2）的基础上， $A D = 4$ ，连结 $C P$ ，若 $△ C P E$ 是直角三角形，求 $C E$ 的长．

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11. 如图一，△ABC中，D是BC 的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G， DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

(1)、求证：BG=CF；

(2)、如图二，当∠A=90°时，猜想BE，CF，EF的数量关系，并说明理由；

(3)、如图三，在(2)的条件下，当AB=AC时，求证ED=FD.

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12. 在 $△ A B C$ 中， $B O ⊥ A C$ 于点O ， $A O = B O = 3$ ， $O C = 1$ ，过点A作 $A H ⊥ B C$ 于点H ，交 $B O$ 于点P ．

(1)、求线段 $O P$ 的长度；

(2)、连接 $O H$ ，求 $∠ A H O$ 的度数；

(3)、如图2，若点D为 $A B$ 的中点，点M为线段 $B O$ 延长线上一动点，连接 $M D$ ，过点D作 $D N ⊥ D M$ 交线段 $O A$ 延长线于N点，则 $S_{△ B D M} - S_{△ A D N}$ 的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

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