特殊三角形之最短路径（将军饮马问题）-浙教版数学八年级上册培优训练

试卷更新日期：2025-11-06 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，AB＝4，动点P满足S_△PAB＝4，则PA+PB的最小值为（）

A、5 B、 $2 \sqrt{1} 3$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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2. 如图，在五边形 $A B C D E$ 中， $∠ B A E = 146 °$ ， $∠ B = ∠ E = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $A E = D E$ ．在 $B C$ ， $D E$ 上分别找一点 $M$ ， $N$ ，使得 $△ A M N$ 的周长最小时，则 $∠ A M N + ∠ A N M$ 的度数为（）

A、 $68 °$ B、 $76 °$ C、 $84 °$ D、 $96 °$

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3. 如图， B D 是 $△ A B C$ 的角平分线， $B A = B C = 10, A C = 12, P, Q$ 分别是 B D 和 B C 上的任意一点，连结 P C， P Q，则 $P C + P Q$ 的最小值是（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{48}{5}$ C、10 D、12

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二、填空题

4. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E，F分别是BD，AB上的动点，则AE+EF的最小值为.

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ，且 $S_{Δ A B C} = 6$ ， $A D ， B E$ 是 $△ A B C$ 的两条高线，P是 $A D$ 上一动点，则 $P C + P E$ 的最小值是．

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6. 如图， $A B ⟂ B C, A B = 3, B C = 7, C D = \sqrt{50} ∠ B C D = 135 ° .$ M是线段BC上的一个动点，连结AM，DM.点M在运动过程中， $A M +$ DM的最小值为.

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7. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 $l$ 同旁有两个定点A、B，在直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 的值最小．解法：如图1，作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，则 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点即为 $P$ ，且 $P A + P B$ 的最小值为 $A^{'} B$ ．请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = B C = 2, E$ 是 $A B$ 的中点， $P$ 是 $B C$ 边上的一动点，则 $P A + P E$ 的最小值为；
（2）几何拓展：如图3， $△ A B C$ 中， $A C = 2, ∠ A = 30 °$ ，若在 $A B$ 上取一点 $M$ ，则 $2 C M + A M$ 的值最小值是．

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $∠ B =60 °$ ， $∠ A = 45 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 上一点，点 $P, Q$ 分别是点 $D$ 关于 $A B 、 A C$ 的对称点，则 $P Q$ 的最小值是．

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三、解答题

9. 如图

(1)、如图，在方格纸中，画出△ABC关于直线l对称的图形△A₁B₁C₁；

(2)、△ABC的面积为；

(3)、在对称轴l上画出一点P ，使得PA+PB最短．

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10. 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题。

(1)、如图，点A、B在直线1的同侧，点A到l的距离AO₁=1，点B到l的距离BO₂=3，O₁O₂=3.
①请在图1直线l上作出点P，使得PA+PB最小；
②PA+PB的最小值为：

(2)、如图2，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是；

(3)、如图3，正方形ABCD的边长为4，、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结DE、DF，求 DE+DF的最小值.

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