三角形的全等三角形（角平分线模型）-浙教版数学八年级上册培优训练

试卷更新日期：2025-11-06 类型：复习试卷

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一、填空题

1. 如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD.若AC=9，BC=5，则BD 的长为.

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2. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，过点 D作DE⊥AC于点 E.若BD=3，CD=5，则△CDE的面积为.

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二、解答题

3. 如图，在四边形ABCD中，BD平分 $∠ A B C, D A = D C, D M ⊥ B A$ 交BA的延长线于点 $M, D N ⊥ B C$ 于点 $N$ ．

(1)、求证：Rt $△ A D M ≅ R t △ C D N$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 6 0^{°}, B D = 6$ ，求四边形ABCD的面积．

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4. 【阅读材料】
“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线，在 $A B$ 上截取 $A E = A C$ ，连接 $D E$ ．请写出线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ， $∠ C \neq 90 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线．请判断线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B ， ∠ A C B \neq 90 °$ ，当 $A D$ 为 $∠ B A C$ 的补角的角平分线时，（2）中 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段 $A B$ ， $A C$ ， $C D$ 之间的新数量关系，不必说明理由．

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5. 如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC的一个外角，且AE⊥BE于点E．

(1)、求证：EF∥ BC．

(2)、若BC=5，AC=4，EF=4，求AB的长．

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6. 已知：如图，在△ADC中，AD=CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE.

(1)、求证：CE=CB；

(2)、若∠CAE=30°，CE=2，求BE的长度。

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7. 已知 $∠ A B C = 90 °$ ，在 $∠ A O B$ 的平分线 $O M$ 上有一点 $C$ ，将一个三角板的直角顶点与点 $C$ 重合，它的两条直角边分别与 $O A, O B$ 相交于点 $D, E$ ．

(1)、如图①，当 $C D ⊥ O A$ 于点 $D$ ， $C E ⊥ O B$ 于点 $E$ 时， $C D$ 和 $C E$ 之间的数量关系为________．

(2)、加图②，当三角板绕点 $C$ 旋转到 $C D$ 与 $O A$ 不垂直时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A O, B O$ 分别平分 $∠ B A C, ∠ A B C$ ．

(1)、如图1，若 $∠ C = 32 °$ ，则 $∠ A O B =$ ；

(2)、如图2，连接 $O C$ ，求证： $O C$ 平分 $∠ A C B$ ；

(3)、如图3，若 $∠ A B C = 2 ∠ A C B, A B = 4, A C = 7 ，$ 求 $O B$ 的长．

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