广东省中山市华辰实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

试卷更新日期：2025-10-17 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线 $x = \tan 20 °$ 的倾斜角为（）

A、 $0 °$ B、 $20 °$ C、 $90 °$ D、不存在

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2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907   966   191   925   271   932   812   458   569   683
431   257   393   027   556   488   730   113   537   989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（       ）

A、0.35 B、0.25 C、0.20 D、0.15

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3. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为

A、160，12 B、120，12 C、160，9 D、120，9

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4. 已知向量 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，向量 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的另一个基底，一向量 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 下的坐标为 $(1, 2, 3)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}}$ 下的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3)$ B、 $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, 3)$ C、 $(3, - \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3)$

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5. 已知 $Δ A B C$ 的顶点 $B (2, 1)$ ， $C (- 6, 3)$ ，其垂心为 $H (- 3, 2)$ ，则其顶点 $A$ 的坐标为

A、 $(- 19, - 62)$ B、 $(19, - 62)$ C、 $(- 19, 62)$ D、 $(19, 62)$

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6. 现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{8}{15}$

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7. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中 $n (Ω) = 24, n (A) = 12, n (B) = 8$ ， $n (C) = 5, n (A \cup B) = 16$ ，则（）

A、事件A与事件B互斥 B、事件A与事件B相互独立 C、事件A与事件C互为对立 D、事件A与事件C相互独立

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8. 已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（）

A、10 B、10.6 C、12.6 D、13.6

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 下列命题正确的是（）

A、数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 B、数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 C、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的标准差为1，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots \dots$ ， $2 x_{10} + 1$ 的标准差为2 D、若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数

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10. 下列选项正确的是（）

A、若直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{e} = (- 1, \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是 $\frac{2 π}{3}$ B、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 垂直”的充要条件 C、“ $a = - 4$ ”是“直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $8 x + a y + 2 - a = 0$ 平行”的充要条件 D、直线 $x sin α - y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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11. 在一个有限样本空间中，事件 $A, B, C$ 发生的概率满足 $P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{3}$ ， $P (A ∪ B) = \frac{5}{9}$ ， A与 $C$ 互斥，则下列说法正确的是（）

A、 $P (A \bar{C}) = \frac{1}{3}$ B、A与 $B$ 相互独立 C、 $P (A B C) = \frac{1}{27}$ D、 $P (A ∪ B ∪ C) \leq \frac{8}{9}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为；身高方差为.

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13. 二面角 $α - l - β$ 为 $60 °$ ， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C$ ， $B D$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = 4$ ，则 $C D$ 的长为．

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14. 如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知A(-1，1)，B(1，1)，C(2， $\sqrt{3}$ +1)，
(1)求直线AB和AC的斜率.
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.

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16. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求该样本的第80百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在 $[60, 80)$ 内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在 $[60, 70)$ 内，另一人成绩在 $[70, 80)$ 内的概率.

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17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是 $\frac{3}{4}$ ，得到黄球或蓝球的概率是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求盒中红球、黄球、蓝球的个数；

(2)、随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间 $Ω$ ；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.

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18. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $△ A B S$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 是 $B S$ 的中点．

(1)、求证： $S D / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若平面 $A B S ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求点 $E$ 到平面 $A S D$ 的距离．

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19. 为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响.

(1)、求甲两轮测试总分为30分的概率；

(2)、求乙在第一轮测试中得40分的概率；

(3)、试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？

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