广东省深圳实验中学高中园、惠东高级中学2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

试卷更新日期：2025-10-24 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{a} = (- 3, 2, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{u} = (1, 2, - 1)$ ，则 $l$ 与 $α$ 的位置关系是（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l ∥ α$ C、 $l \subset α$ D、 $l ∥ α$ 或 $l \subset α$

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2. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x - 3 y + 12 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 4) y + 4 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $1$ 或 $0$ D、 $1$ 或 $3$

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3. 已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ ，是两两垂直的单位向量，且 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{3}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{3}}$ ，则 $(6 \vec{a}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{b})$ 等于(　　)

A、15 B、3 C、－3 D、5

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4. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C = C D = 4$ ， $∠ B C D = \frac{2 π}{3}$ ，点 $E$ 为 $A C$ 的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C D} =$ （）

A、8 B、4 C、－8 D、－4

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2), \vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（　　）

A、 $(- \frac{2}{9}, - \frac{4}{9}, - \frac{4}{9})$ B、 $(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9})$ C、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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6. 已知直线 $l$ 经过点 $A (- 3 ， 2)$ ，且与直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y + 7 = 0$ C、 $2 x + y + 4 = 0$ D、 $2 x - y + 8 = 0$

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7. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 4, 0), B (0, 4), C (2, 0)$ ，则其欧拉线方程为（）

A、 $x - y - 2 = 0$ B、 $x + y - 2 = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $x + y + 2 = 0$

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8. 已知点 $E$ 是棱长都为2的正四棱锥 $P - A B C D$ 的棱 $P C$ 的中点，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{B M} = x \vec{P A} + (y - 1) \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ ．当 $| \vec{P M} |$ 最小时，有（）

A、 $△ P M C$ 为钝角三角形 B、 $E M = \sqrt{2}$ C、 $E M$ 与底面 $A B C D$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ D、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球被二面角 $E - M B - C$ 所夹的几何体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9. 下面四个结论正确的是（）

A、向量 $\vec{a}, \vec{b} (\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若空间四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 2, x, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = - 2$ D、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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10. 下列选项正确的是（）

A、若直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{e} = (- 1, \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是 $\frac{2 π}{3}$ B、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 垂直”的充要条件 C、“ $a = - 4$ ”是“直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $8 x + a y + 2 - a = 0$ 平行”的充要条件 D、直线 $x sin α - y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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11. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为线段 $B D$ 的中点，且点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}} (0 \leq λ, μ \leq 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $D_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B D$ ，则 $λ^{2} + μ^{2}$ 最小值为 $\frac{1}{2}$ B、若 $P O ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ，则 $λ = \frac{1}{2}, μ = 1$ C、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，则 $P$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $λ = 1$ ， $0 \leq μ \leq 1$ 时，直线 $D P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ \in [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知点 $A (3, 2)$ ， $B (- 2, 3)$ ，直线 $l : k x - y - 2 k = 0$ ．若直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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13. 已知空间中的三点 $A (1, 2, 3)$ ， $B (1, 2, 5)$ ， $C (3, 0, 1)$ ，则点 $C$ 到直线AB的距离为.

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14. 如图，已知P是半径为2，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的一段圆弧AB上一点， $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{B C}$ ，则 $\overset{⇀}{P C} \cdot \overset{⇀}{P A}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知直线 $l$ 过点 $A (4, 1)$ ．

(1)、若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上的截距的2倍，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求与 $x + 6 y - 2 = 0$ 平行时的直线 $l$ 的方程．

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16. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ，点 $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $E B_{1} ⊥$ 平面 $A C E$ ．

(1)、求 $D D_{1}$ 的长；

(2)、求平面 $A C E$ 与平面 $C E C_{1}$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A C E$ 的距离．

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17. 已知直线 $l_{1} : k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $P$ ，且交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ 、交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ，点 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $|P A| \cdot |P B|$ 的最小值，并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

(2)、 $△ A B O$ 的面积为S（ $O$ 为坐标原点），求S的最小值并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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18. 如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点，满足 $A B = A C = 2 \sqrt{5}, B C = 4$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2.

(1)、求证： $A_{1} O ⊥$ 平面 $B C E D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 和平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{F C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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19. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，定义：过点 $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且方向向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线的点方向式方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；过点 $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且法向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0)$ 的平面的点法向式方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，将其整理为一般式方程为 $a x + b y + c z - d = 0$ ，其中 $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$ ．

(1)、求经过 $A (- 1, 2, 4), B (2, 0, 1)$ 的直线的点方向式方程；

(2)、已知平面 $α_{1} : 2 x - 3 y + z - 1 = 0$ ，平面 $β_{1} : x + y - 2 z + 4 = 0$ ，平面 $γ_{1} : (m + 1) x - (2 m + 3) y + (m + 2) z - 5 = 0$ ，若 $α_{1} \cap β_{1} = l, l ⊄ γ_{1}$ ，证明： $l ∥ γ_{1}$ ；

(3)、已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所在平面 $α_{2}$ 经过三点 $P (- 4, 0, 0)$ ， $Q (- 3, - 1, 1), H (1, - 5, - 2)$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所在平面 $β_{2}$ 的一般式方程为 $y + z + 4 = 0$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 所在平面 $γ_{2}$ 的一般式方程为 $2 x - m y + (2 m + 1) z + 1 = 0$ ，求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角大小．

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