5.4 二元一次方程与一次函数-北师大版数学八年级上册

试卷更新日期：2025-11-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若用图象法解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = m x + n \end{array}$ 时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$

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2. 如果一次函数 $y = 3 x - 6$ 与 $y = 2 x + 2$ 的交点坐标为 $(a, b)$ ，那么是下列哪个方程组的解（　　）

A、 ${\begin{array}{l} x - 3 y = 6 \\ 2 x + y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 x + 6 + y = 0 \\ 2 x - 2 - y = 0 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 6 \\ 2 x - y + 2 = 0 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 6 \\ 2 x - y = 2 \end{array}$

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3. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 与 $y = - \frac{1}{2} x$ 相交于点 $A (a, 1)$ ，则方程组 $\{\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x + b \\ y = - \frac{1}{2} x \end{array}$ 的解为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = - 1 \end{array}$

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4. 已知直线y＝x﹣2与y＝mx﹣n相交于点M（3，b），则关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y + 2 = x \\ m x - y = n \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 5 \end{array}$

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5. 在直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取( )个.

A、2 B、4 C、6 D、8

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6. 如图，已知一次函数 $y_{1} = 2 x - 2$ ， $y_{2} = - 2 x + 4$ 的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ 与 $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ 的自变量 $x$ 与因变量 $y_{1}, y_{2}$ 的部分对应数值如下表，则关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y = k_{1} x + b \\ y = k_{2} x + b \end{array}$ 的解为（）
x
…
-1
0
1
2
…
y₁
…
-3
1
5
9
…
y₂
…
-7
-3
1
5
…

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 5 \end{array}$ D、无解

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8. 一次函数 $y = k x + b$ 与 $y = m x + n$ 的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A、 $b = - 1 ， n = 2$ B、这两个函数的图象与 $y$ 轴围成的三角形的面积为4. 5 C、关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = m x + n \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ D、当 $x$ 从0开始增加时，函数 $y = k x + b$ 比 $y = m x + n$ 的值先达到3

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二、填空题

9. 一次函数 $y = 5 - x$ 与 $y = k x - 1$ 图象的交点为A $(m, 3)$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ 的解为．

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10. 已知直线y= $\frac{5}{2}$ x+2与直线y= $- \frac{3}{2}$ x-6相交于点P（-2，-3），则二元一次方程组 ${\begin{cases} 5 x - 2 y + 4 = 0 \\ 3 x + 2 y + 12 = 0 \end{cases}$ 的解是.

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11. 如图，若直线 $y = x + 2$ 与直线 $y = k x + b$ 相交于点 $P (m, 4)$ ，则方程组 $\{\begin{array}{l} y = x + 2 \\ y = k x + b \end{array}$ 的解是．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + b$ 和 $y = m x + n$ 相交于点（2，－1），则关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} k x = y - b \\ m x + n = y \end{matrix}$ 的解为．

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13. 在直角坐标系内，一次函数. $y = k_{1} x + b_{1}$ 与y $= k_{2} x + b_{2}$ 的图象如图所示，则关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} y - k_{1} x = b_{1}, \\ y - k_{2} x = b_{2} \end{matrix}$ 的解是.

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14. 在同一平面直角坐标系中，直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P(n， 3) ，则关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + y - 4 = 0 \\ 2 x - y + m = 0 \end{array}$ 的解为.

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三、解答题

15. 已知方程组 $\{\begin{matrix} - 3 x + y + 3 = 0, \\ 3 x + 2 y - 6 = 0 \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{matrix} x = \frac{4}{3}, \\ y = 1, \end{matrix}$ 试求直线y=3x-3与 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 的交点坐标.

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16. 存在一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗? 直线y=-x+2与y=-x+5之间有什么关系?

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17. 如图，直线l₁：y=x+1与直线l₂：y=mx+n相交于点P(1，b).

(1)、求b的值.

(2)、不解关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} y = x + 1, \\ y = m x + n, \end{matrix}$ 直接写出它的解.

(3)、直线 $l_{3} : y = n x + m$ 是否也经过点P?请说明理由.

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18. 如图，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 5$ 的图象 $l_{1}$ 分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 交于点 $C (m, \frac{15}{4})$ ．

(1)、求m的值及 $l_{2}$ 的关系式；

(2)、方程组 $\{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + y = 5 \\ \frac{3}{2} x - y = 0 \end{array}$ 的解为________；

(3)、求 $S_{△ A O C} - S_{△ B O C}$ 的值．

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19. 如图，已知直线 $l_{1}$ ： $y = 3 x + 1$ 与y轴交于点A ，且和直线 $l_{2}$ ： $y = m x + n$ 交于点 $P (- 2, a)$ ，根据以上信息解答下列问题：

(1)、求a的值；

(2)、不解关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} y = 3 x + 1 \\ y = m x + n \end{array}$ ，请你直接写出它的解；

(3)、若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 表示的两个一次函数都大于0，此时恰好 $x > 3$ ，求直线 $l_{2}$ 的函数解析式．

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20. 定义：一次函数 $y = a x + b$ 和一次函数 $y = - b x - a$ 为“逆反函数”，如 $y = 3 x + 2$ 和 $y = - 2 x - 3$ 为“逆反函数”．

(1)、点 $A (a, 3)$ 在 $y = x + 2$ 的“逆反函数”图象上，则 $a =$ ；

(2)、 $y = 4 x + 3$ 图象上一点 $B (m, n)$ 又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；

(3)、若 $y = - 2 x + b$ 和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．

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四、综合题

21. 某校为达成省体育器材类装备，计划在京东惠购一次性购进篮球和足球共 $50$ 个，某电商内部信息表给出其进价与售价间的关系如表：

篮球
足球
进价 $($ 元 $/$ 个 $)$
          $105$
          $90$
售价 $($ 元 $/$ 个 $)$
     $135$
     $125$

(1)、学校用 $4920$ 元以进价购进这批篮球和足球，求购进篮球和足球各多少个；

(2)、设该电商所获利润为 $y ($ 单位：元 $)$ ，购进篮球的个数为 $x ($ 单位：个 $)$ ，请写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式 $($ 不要求写出 $x$ 的取值范围 $)$ ；

(3)、因资金紧张，学校的进货成本只能在 $4745$ 元的限额内，请为学校设计一种进货方案使得尽可能多地购买篮球和足球，同时要使电商利润最小；并求出利润的最小值．

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22. 【数学活动回顾】：七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x﹣y=0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程x﹣y=0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x﹣y=0的图象；
结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程x﹣y=0的图象时，可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB．
【解决问题】：

(1)、请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + y = 4 \\ x - y = - 1 \end{matrix}$ 中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）

(2)、观察图象，两条直线的交点坐标为，由此你得出这个二元一次方程组的解是；

(3)、【拓展延伸】：
已知二元一次方程ax+by=6的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，0），试求a、b的值．

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	篮球	足球
进价 $($ 元 $/$ 个 $)$	$105$	$90$
售价 $($ 元 $/$ 个 $)$	$135$	$125$

x	…	-1	0	1	2	…
y₁	…	-3	1	5	9	…
y₂	…	-7	-3	1	5	…