5.3 二元一次方程组的应用-北师大版数学八年级上册

试卷更新日期：2025-11-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，3种包装的饮料每瓶各多少元（）

A、1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元 B、1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元 C、1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元 D、1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元

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2. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”设雀每只重x两，燕每只重y两，则可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 6 x + 5 y = 16 \\ 6 x + y = 5 y + x \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 6 x + 5 y = 16 \\ 5 x + y = 4 y + x \end{array}$

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3. 一个学习小组共有x个学生，分为y个小组．若每组5人，则余下3人；若每组6人，则有一组少3人，则可得方程组（）

A、 $\{\begin{matrix} 5 x + 3 = y \\ 6 x - 3 = y \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 5 y = x + 3 \\ 6 y + 3 = x \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 5 y = x + 3 \\ 6 y = x + 3 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} 5 y = x - 3 \\ 6 y = x + 3 \end{matrix}$

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4. 如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 25 \\ y = 3 x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 25 \\ x = 3 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 25 \\ x = 3 y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 25 \\ y = 3 x \end{array}$

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5. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 94 \\ 4 x + 2 y = 35 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + y = 94 \\ 2 x + 4 y = 35 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 35 \\ 2 x + 4 y = 94 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + y = 35 \\ 4 x + 2 y = 94 \end{array}$

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6. 2023年杭州亚运会期间，吉祥物琼琼、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（　　）

A、 ${\begin{array}{l} x = 2 y \\ 60 x + 20 y = 5000 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 y \\ 20 x + 60 y = 5000 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 2 x = y \\ 60 x + 20 y = 5000 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 2 x = y \\ 20 x + 60 y = 5000 \end{array}$

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7. 为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析.结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（）

A、 ${\begin{cases} x - y = 22 \\ x \times 2.5 % + y \times 0.5 % = 10000 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x - y = 22 \\ \frac{x}{2.5 %} + \frac{y}{0.5 %} = 10000 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x + y = 10000 \\ x \times 2.5 % - y \times 0.5 % = 22 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x + y = 10000 \\ \frac{x}{2.5 %} - \frac{y}{0.5 %} = 22 \end{cases}$

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8. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 8 cm ， A B = 6 cm$ ， E为 $A D$ 的中点，若点P在线段 $A B$ 上以 $2 cm/s$ 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 $B C$ 上由点C向点B运动，当 $△ A E P$ 与 $△ B P Q$ 全等时，则点Q的运动速度是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、6或 $\frac{8}{3}$ C、2或6 D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

9. 一条船顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时行16km，则船在静水的速度km/h．

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10. 如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃则其中一个小长方形花圃的周长是m.

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11. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是 $x$ 钱，共同购买该物品的有 $y$ 人，根据题意，列出的方程组是．

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12. 某校“数学建模”社团的同学用五种不同正方形拼成如图所示的无缝隙、不重叠的长方形，若中间小正方形的边长为1，则正方形B的边长是．

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13. 如图所示是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为和.

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14. 用五个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 5)$ ，则点 $B$ 的坐标为．

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三、解答题

15. 景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克 $6$ 元和每千克 $3$ 元，采摘这两种蔬菜一共支付了 $120$ 元，其中西红柿比土豆少 $10$ 千克．

(1)、求西红柿和土豆各采摘了多少千克？

(2)、为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是 $64$ 元和 $80$ 元，土豆的售价是西红柿售价的 $\frac{1}{2}$ ，土豆比西红柿多卖出 $12$ 千克，求土豆和西红柿的售价．

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16. 潮汕牛肉火锅起源于中国潮汕地区，它既是当地人宴客的必备佳肴，更是离乡游子们寄托乡愁的食物 $.$ 潮汕牛肉火锅最大的特点就是采用新鲜食材，利用简单烹饪和极致刀功，发挥食材的鲜香本味 $.$ 按照牛的不同部位对牛肉精心分类：牛胸前的那块脂肪叫胸口膀、牛腹部上的条状肉叫肥肼、牛脊背上长长的一条肉叫吊龙、最精贵的是牛肩胛上突起的一小块肉，叫脖仁 $\dots$ 每个部位肉的口感都不相同，涮法亦各有讲究．
某日，小明买了 $2$ 份胸口膀， $3$ 份肥肼，一共花了 $196$ 元；小华买了 $4$ 份胸口膀， $1$ 份肥肼，一共花了 $192$ 元．

(1)、胸口膀和肥肼售价分别是每份多少元？

(2)、火锅店老板根据销售情况，决定购进胸口膀和肥肼共 $180$ 份，若在售价不变的情况下，每份胸口膀可盈利 $6$ 元，每份肥肼可盈利 $8$ 元，请问火锅店老板实际进货用了多少元？

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17. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞，该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行，现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输，已知1个A部作和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等，1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？

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18. 为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求：

(1)、A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？

(2)、若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且 $m \geq 10$ ，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用．

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19. 甲、乙两人从相距36km的两地相向而行.如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇.甲、乙两人的速度各是多少?
设甲、乙两人的速度分别是 xkm/h， ykm/h，填写下表并求x，y的值.
两种情况
甲的路程
乙的路程
甲、乙两人的路程之和
第一种情况
(甲先走2h)

第二种情况
(乙先走2h)

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20. 一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知： 2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．

(1)、求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？

(2)、现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．

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四、实践探究题

21. 根据以下素材，探索完成任务．

有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．

(1)、求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．

(2)、由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．

①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．

②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元）．

由A卡纸制作		由B卡纸制作
小旗子（面）	小灯笼（个）	小旗子（面）	小灯笼（个）

方案评价表
方案等级	采购费用	制作中卡纸使用情况	评分
优秀	低于65元	两种卡纸均无余料剩余	3分
良好	低于65元	仅一种卡纸有余料剩余	2分
合格	低于65元	两种卡纸均有余料剩余	1分

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22.

项目背景	我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究．
素材一	毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
素材二	经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为 $7 cm$ ，其中一条边长固定为 $2 cm$ ，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．
素材三
解决问题
任务一	小明画出了锐角 $△ A B C ， A B = A C ， B C = 2 cm$ ，则 $S_{2} =$ 　　　 ${cm}^{2}$ ．
任务二	小金画出了直角 $△ D E F ， ∠ D F E = 90 ° ， E F = 2 cm$ ，计算 $S_{2}$ 的值，并写出过程．
任务三	小山画出了钝角 $△ G H I ， ∠ G I H = 120 ° ， H I = 2 cm$ ，则 $S_{2} {=_____cm}^{2}$ ．

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